28. Sur le rôle du concept de la disposition dans l’étude des principes etc. 93 
se présentent sous un jour entièrement nouveau. Elles ressortent alors 
du domaine de la géométrie non-archimédienne [cf. n 08 46 à 52]. 
28, Sur le rôle du concept de la disposition dans l’étude des 
principes de la géométrie projective. On peut se demander s’il est 
possible d’établir les principes de la géométrie projective sans faire 
appel à d’autres dormées qu’aux concepts fondamentaux du point et 
de la ligne joignant deux points, auxquels on adjoint les postulats du 
groupe (a) du n° 25 qui les concernent. 
A cette question se rattache un ordre de recherches dans lequel 
on n’envisage comme données a priori qu’un nombre déterminé de 
points, et dans lequel on n’envisage que les points qui se déduisent 
de ces points donnés par des constructions rectilignes. 
Ces recherches concernent ainsi une géométrie projective de systèmes 
remarquables de points. Elles supposent que l’on se donne au moins 
quatre points de l’espace [ou du système fondamental envisagé] non 
situés dans un même plan et, en outre, un point non situé dans l’un 
des quatre plans déterminés par trois de ces quatre points fonda 
mentaux, de façon que sur chaque droite joignant deux points quel 
conques on puisse construire, en utilisant les quatre points fonda 
mentaux et le cinquième point envisagé, par projections et sections, 
au moins un nouveau point. Jusqu’ici tout se passe comme dans 
l’espace projectif ordinaire. Mais des hypothèses faites il ne résulte 
pas que le quatrième harmonique de trois points A, B, C d’une ligne 
droite 326 ) soit distinct du point (7; il n’en est ainsi pour trois points 
quelconques A, B, C qui si l’on postule qu’il en est ainsi pour un 
système de trois points déterminés A, B, C. D’ailleurs, si même on 
postulait qu’il en est ainsi, on ne pourrait pas pour cela reconnaître 
si, en partant de trois points A, B, C de la droite et construisant la 
suite de quatrièmes harmoniques qui s’en déduit comme il a été expli 
qué au n° 27, on obtient une infinité de points sur la droite. Il 
existe, en effet, des configurations formées par un nombre fini de 
points qui satisfont, à elles seules, au postulats a [n° 25] de la géo 
métrie projective 327 ). 
Mais si l’on postule que les points de la droite sont disposés 
dans un ordre cyclique de caractère projectif, on peut démontrer que 
la droite, et même chacun des segments de la droite, contient une in 
326) Cf. M. Pasch, n° 27 ß. 
327) G. Fano, Giorn. mat. (1) 30 (1892), p. 123; E. H. Moore [Amer. J. math. 
18 (1896), p. 264] a, lui aussi, envisagé des configurations analogues. Voir aussi 
G. Hessenberg, Archiv Math. Phys. (3) 6 (1904), p. 123/7.