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III 1. F. Fnriques. Métrique projective. 
l’infini de ces deux droites et les deux ombilics (points cycliques) du 
plan forment une division harmonique. 
F.N.Laguerre 334 ) a observé que, si un système d’angles A 1} A 2 ,A 3 ,... 
d’une figure F est lié par une relation 
fiA-1 f Ai ^-3? • • •) = 0 
et qu’on transforme bomograpbiquement la figure F, les angles 
Af, A 2 , A 3 ', ... en lesquels se transforment A lf A 2 , A 3 , ... sont liés 
par la relation 
f{éi lo ge a i, Yi lo & a *’ Yi lo & %;■••) = 
où, pour h = 1, 2, 3,. . ., a h désigne le rapport projectif des deux 
côtés de l’angle A h et des deux droites A h P, A h Q qui sont les droites 
transformées des deux droites joignant le point A h aux deux points 
cycliques du plan de F. 
Il convient toutefois d’observer que E. N. Laguerre n’a pas envisagé 
cette expression comme une définition de la mesure de l’angle 335 ). La 
définition graphique du rapport auharmonique due h K. G. Chr.von Staudt 
au moyen d’un nombre fourni par une construction projective lui était 
étrangère. 
A. Cayley 336 ) a envisagé les expressions les plus générales de la 
distance de deux points et de l’angle de deux plans comme des in 
variants par rapport au cercle des sphères (imaginaire dans le plan 
à l’infini), et il a étudié les mêmes invariants par rapport à une co 
nique quelconque arbitrairement fixée. Il appelle cette conique la 
conique absolue ou simplement l’absolu du plan. C’est à cette 
conique absolue qu’il rapporte toutes ses recherches sur la mesure 
des distances et des angles; il n’entre d’ailleurs dans aucun détail 
et ne distingue en particulier aucunement le cas où la conique 
absolue est réelle de celui où elle est imaginaire. Ses recherches ont 
un caractère essentiellement analytique; il envisage les invariants de 
formes données lorsqu’on effectue des substitutions linéaires homo 
gènes sur les variables homogènes figurant dans ces formes, et insiste 
sur le rôle que jouent ces invariants dans l’étude des relations pro 
jectives en géométrie euclidienne; il interprète ensuite les formules 
générales ainsi obtenues dans le cas où la conique absolue est le cercle 
des sphères (imaginaire dans le plan de l’infini). 11 envisage aussi le 
334) Nouv. Ann. math. (1) 12 (1853), p. 64 (probl. 4) ; Œuvres 2, Paris 1905, p. 12. 
335) Cf. H. Faure, Nouv. Ann. math. (1) 18 (1859), p. 381. 
336) Philos. Trans. London 149 (1859), p. 61 et suiv , en partie, p. 82/90; 
Papers 2, Cambridge 1889, p. 561, en partie, p. 583/92; Philos. Trans. London 
160 (1870), p. 51; Papers 6, Cambridge 1893, p. 456.