100 III 1. F. Enriques. Métrique projective.
conduit à la détermination métrique projective la plus générale de
A. Cayley 338 ).
Cette géométrie métrique projective comprend les différentes géo
métries non-euclidiennes et se ramène en particulier à la géométrie
euclidienne ordinaire que nous venons d’envisager ci-dessus. Ce fait
important apparaît déjà en partie dans les travaux de E. BeltramP 39 ).
Il est mis en pleine lumière dans ceux de F. Klein 340 ). Il fallait pour
le montrer discuter les différents cas de réalité de la forme absolue
et aussi introduire dans l’expression de la distance des deux points
un facteur constant h, ayant, suivant le cas, une valeur réelle ou pure
ment imaginaire. En même temps, F. Klein faisait ressortir l’impor
tance capitale de ces recherches en reprenant les recherches purement
géométriques de Chr. von Staudt sur les fondements de la géométrie
projective et en les affranchissant du postulat d’Euclide sur les parallèles.
Il aboutit finalement à une construction dans laquelle les différentes
géométries non-euclidiennes sont, comme la géométrie euclidienne
[n° 27], fondées sur une base purement projective.
Yoici comment F. Klein définit la détermination métrique de
A. Cayley dans le cas des diverses formes géométriques que l’on est
amené à envisager.
a. Formes de rang un. Fixons arbitrairement, comme couple ab
solu, deux éléments P et Q, réels ou imaginaires conjugués, et soit
+ 2 bz x z 3 -f- cz^ = 0
l’équation en coordonnées projectives de ce couple absolu.
L’intervalle de deux éléments
A = O), B = (y)
ayant respectivement pour coordonnées (x 1} x 2 ) et (y if y z ) est défini
par la formule
a 4- .a a
(i) ab-; c logMBFQ) -»•»-*
xy Y xy XX y y
338) Philos. Trans. London 149 (1859), p. 61; 160 (1870), p. 51; Papers 2,
Cambridge 1889, p. 561; 6, Cambridge 1893, p. 456.
Yoir ausai G. Battaglini, Rendic. Accad. Napoli (1) 6 (1867), p. 157; Nouv.
Ann. math. (2) 7 (1868), p. 209, 265; G. Salmon, A treatise on conio sections;
trad. allemande par W. Fiedler, (2® éd.) Leipzig 1867, et toutes les éditions
suivantes; (6* éd.) 2, Leipzig 1903, p. 560.
F. Lindemann, dans A. Clebsch, Vorlesungen über Geometrie 2 1 , Leipzig
1891, p. 540 (section 3, § 8).
339) Giorn. mat. (1) 6 (1868), p.285; Ann. mat. pura appi. (2) 2 (1868/9), p.232;
Opere 1, Milan 1902, p. 375, 406.
340) Nachr. Ges. Gott. 1871, p. 419; Math. Ann. 4 (1871), p. 573.
