102 
III 1. F. Enriques. Métrique projective. 
constitué par des éléments effectifs, points ou plans, en excluant 
l’autre segment PQ supposé constitué par des éléments idéaux par 
rapport à l’intuition métrique, on obtient une géométrie métrique qui 
coïncide avec celle de la géométrie ponctuelle dans la géométrie non- 
euclidienne de N. I. Lobacevskij. 
Dans le cas parabolique, la formule qui a servi de définition à 
l’intervalle AB n’a plus aucun sens. On peut alors définir cet inter 
valle comme cas limite de sa valeur dans le cas hyperbolique, A cet 
effet, on prendra Je inversement proportionnel à la racine carrée du 
nombre positif h 2 — 4ac et l’on appellera intervalle ÂB la limite vers 
laquelle tend l’intervalle hyperbolique AB quand h 2 — 4ac tend vers 
zéro. Cette limite peut être mise sous la forme de la différence de 
deux rapports projectifs où figurent deux éléments auxiliaires C, D, 
en sorte que 
ÂB = (CD B P) - {CD AP). 
L’intervalle AB n’est déterminé qu’à un facteur numérique constant 
près, dont le choix dépend de celui de l’unité de mesure. 
On obtient ainsi une géométrie métrique qui n’est autre que celle 
des ponctuelles dans l’espace euclidien. 
Les trois cas envisagés ont été désignés sous le nom d’elliptique, 
d’hyperbolique ou de parabolique, parce que, dans ces trois cas, les 
deux points absolus sont imaginaires, réels et distincts ou réels et 
confondus, tout comme les intersections respectives dans ces trois cas 
de l’ellipse, de l’hyperbole ou de la parabole par la droite de l’infini. 
Les mouvements des formes fondamentales de rang un en elles- 
mêmes apparaissent, dans le cas elliptique et dans le cas hyperbolique, 
comme identiques aux transformations projectives laissant invariables 
les deux éléments absolus. 
Ajoutons que, en ce qui concerne les formes de rang un, la 
détermination métrique de A. Cayley peut être regardée comme four 
nissant l’extension la plus générale possible de la détermination mé 
trique ordinaire des ponctuelles et des faisceaux, si l’on n’envisage 
que des extensions telles que les deux conditions suivantes soient 
satisfaites : 
1°) l’intervalle de deux éléments reste fixe pour tous les mouve 
ments (c’est-à-dire pour oo 1 projectivités réelles des formes fondamen 
tales en elles-mêmes), 
2°) les intervalles de deux éléments jouissent de la propriété 
additive 
AB=~AC+ CB.