30. Détermination métrique générale de Cayley. 
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b. Formes de rang deux. Pour énoncer plus simplement les ré 
sultats, bornons-nous au cas où la forme fondamentale de rang deux 
envisagée est un plan envisagé comme un ensemble de points. 
Si 
Q xx = "l” x^x 2 + a 22 x 2 ^ -f- 2a i3 x±x 3 -f- 2a 23 x 2 x 3 -f- (s 33 x 3 := * 0 
est Téquation en coordonnées ponctuelles de la conique absolue et si 
® U U = <*11 V + 2«J,«!«* + CC M U 3 2 + 2a 13 M 1 W 3 -f 2cc 23 tl 2 u 3 + «33% 2 = 0 
est l’équation de cette même conique en coordonnées tangentielles, on 
définit la distance de deux points (x) et (y) du plan par la formule 
Si _]_ lAj* — si si 
W j!ÿ~ Y xy ^XX_yy 
Si —-[/si* — £1 Si 
ÏJ y xy XX * y y 
et la mesure de l’angle de deux droites du plan par la formule 
A V 1 V^uv ^uu ^vv 
uv ~~ °^ e q> — t/$* _ & <£ 
UV y UV UU VV 
OÙ 
¿l xy = a n x iVi + «12Où2/2 + x iVx) + a 22 cc 2 y 2 + a 33 x 3 y 3 -f a 13 {x x y 3 + x 3 y x ) 
+ a 23 (x 2 y 3 + y~2 x ù, 
& uv = a lx u t + a u {u x v 2 + u 2 v x ) -f « 22 m 2 v 2 + «s 3 m 3 v 3 
et où li et 1î désignent deux constantes fixées à volonté. 
On se borne généralemeut au cas où la détermination métrique 
dans le faisceau de droites est toujours elliptique; et pour que cette 
détermination soit identique à la mesure ordinaire des angles il suffit 
de prendre &'= y- Il y a alors lieu de distinguer trois cas: 
1°) le cas elliptique où la conique absolue est imaginaire; 
2°) le cas hyperbolique où la conique absolue est réelle, mais où 
l’on n’envisage (pour les déterminations métriques) que les points situés 
à l’intérieur de cette conique; 
3°) le cas parabolique où la conique absolue dégénère en une 
paire de points imaginaires; dans ce cas la droite réelle qui joint ces 
deux points imaginaires apparaît comme droite de l’infini relativement 
à l’ensemble des points propres qui restent en dehors d’elle. 
Dans le cas elliptique, on prend pour le un nombre purement 
imaginaire, dans le cas hyperbolique on prend pour h un nombre 
réel, dans le cas parabolique on prend Te infiniment grand. 
La quantité que l’on désigne dans l’étude de l’élément de courbe 
sous le nom de courbure d’une détermination métrique [n° 31] est dans