106 III 1. F. Enriques. Métrique projective. 
trie hyperbolique, il faut adjoindre aux points effectifs non seulement 
les points à l’infini constituant ici une quadrique, mais encore les 
points idéaux que Ton peut déterminer par l’intersection de droites 
qui ne se coupent pas en un point effectif et ne sont cependant pas 
parallèles. 
Si l’on envisage une quadrique absolue tout à fait quelconque, en 
faisant abstraction de la condition restrictive d’après laquelle la géo 
métrie métrique du faisceau doit être nécessairement elliptique, on 
obtient naturellement des résultats d’un caractère plus général encore. 
Les géométries 343 ) auxquelles on parvient alors en partant de la 
détermination métrique projective conduisent à des droites réelles de 
longueur nulle, à des angles infiniment grands, à des droites non 
superposables, et autres concepts en contradiction avec ceux de la 
géométrie métrique générale ordinaire. 
31. Remarques diverses sur les déterminations métriques pro 
jectives. a. Sur la détermination métrique parabolique tangente à une 
détermination métrique hyperbolique ou elliptique. Soit A un point d’un 
espace hyperbolique. On peut envisager une détermination métrique 
parabolique qui, aux environs infiniment voisins de A, fournit des ré 
sultats ne différant de ceux de la détermination métrique hyperbolique 
que par des infiniment petits d’ordre supérieur au premier. On donne 
à cette détermination métrique le nom de détermination métrique 
parabolique tangente à la détermination métrique hyperbolique. On 
l’obtient en prenant pour conique absolue la section de la quadrique 
absolue de l’espace hyperbolique par le plan polaire de A par rapport 
à cette quadrique, et en choisissant convenablement l’unité de lon 
gueur 344 ). 
Il en est de même si A est un point d’un espace elliptique. 
Si l’on prend pour mesure de la différence entre la détermination 
parabolique tangente à la détermination hyperbolique ou elliptique 
donnée et cette détermination hyperbolique ou elliptique elle-même 
l’expression — ? c’est-à-dire la mesure de la courbure [n° 30] de 
l’espace hyperbolique ou elliptique en A, on a, dans la construction 
de la détermination parabolique tangente, une interprétation intuitive 
de cette courbure. 
b. Sur la connexion de l'espace métrique. Dans les cas hyper 
bolique et parabolique, la droite est une ligne ouverte. Le plan est 
343) Voir H. Poincaré, Bull. Soc. math. France 15 (1886/7), p. 203. 
344) F. Klein, Math. Ann. 4 (1871), p. 573.