31. Remarques diverses sur les déterminations métriques projectives. 109 
•éléments infinis de la détermination métrique hyperbolique est la ligne 
droite (a) intersection du nouveau plan de projection et de a. 
Les demi-cercles (c) se projettent suivant des demi-cercles, images 
des droites (d): ces demi-cercles sont orthogonaux à la droite (a); les 
angles formés par les droites (d) dans le plan a sont représentés dans 
le nouveau plan de projection par les angles ordinaires sous lesquels 
ces demi-cercles se coupent dans le sens de la géométrie euclidienne. 
C’est cette image de la géométrie hyperbolique que H. Poincaré 
a utilisée systématiquement dans ses recherches fondamentales sur la 
théorie des fonctions. 
On peut d’ailleurs construire d’une façon analogue une image 
toute semblable dans l’espace à trois dimensions 347 ). 
c. Sur le principe de dualité. Le principe de dualité de la géo 
métrie projective s’applique aussi aux propositions de la géométrie 
métrique elliptique où l’absolu [n° 29] a été fixé d’une façon symé 
trique par rapport aux points et aux plans. A cet égard, la géo 
métrie elliptique est la plus belle de toutes les géométries métriques. 
En géométrie hyperbolique ou parabolique, au contraire, le prin 
cipe de dualité ne s’applique pas. Il ne saurait s’appliquer en géo 
métrie hyperbolique, car dans cette géométrie l’espace métrique se 
•déduit de l’espace projectif en excluant les points extérieurs à la 
quadrique absolue, et à cette exclusion correspond celle des plans 
extérieurs à la quadrique, au lieu de celle des plans qui rencontrent 
la quadrique comme il le faudrait pour satisfaire au principe de 
•dualité. v 
En géométrie parabolique l'absolu envisagé comme courbe ponc 
tuelle ou surface ponctuelle n’est pas corrélatif à lui-même, envisagé 
■comme courbe tangentielle ou surface tangentielle, en sorte qu’il 
ne saurait être question d’appliquer à cette géométrie le principe de 
dualité. 
d. Sur les postulats de la géométrie métrico-projective. On peut se 
demander quels concepts métriques et quels postulats relatifs à ces 
•concepts il faut ajouter aux concepts et aux postulats de la géométrie 
projective pour poser les fondements de la géométrie métrique générale. 
Ce qui a été dit au n° 29 permet de répondre fort simplement 
à cette question. 
Pour fonder la géométrie métrique générale il suffit d’adjoindre 
aux concepts graphiques (descriptifs) de la géométrie projective le 
347) H. Poincaré, Acta math. 1 (1882/3), p. 1 [1882]. Voir aussi B. Friche 
et F. Klein, Yories. über automorphe Funktionen 1, Leipzig 1897; F. Klein, 
Ellipt. Modulfunct. 380 ) 1, p. 196.