33» Géométrie sur une surface courbe. 
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A. Élément linéaire. Distance finie de deux points. 
33. Géométrie sur une surface courbe. Pour étudier les pro 
priétés des figures tracées sur une surface courbe, on commence par 
étendre aux lignes courbes le concept de la distance de deux points 
et l’on parvient ainsi au concept de la longueur d’un arc de courbe. 
Sous certaines restrictions, toujours supposées vérifiées, concer 
nant la continuité et la dérivabiiité des expressions envisagées, cette 
longueur dépend des extrémités de l’arc de courbe et de la forme de 
la ligne courbe envisagée; et elle jouit de la propriété additive, en 
vertu de laquelle elle est définie par l’expression de l’élément linéaire 
(1) ds = Ydx 2 -j- dy 2 + dz 2 
de la ligne courbe envisagée: 
x = x(t), 
y = y{t), 
z = z(f). 
De cette expression générale on déduit immédiatement que Vélé 
ment linéaire sur une surface [cf. III 29 et III 32] 
x — x(u, v), 
y = y(u, v), 
z = z{u, V), 
c'est-à-dire la distance de deux points infiniment voisins 
([u, v), (w -j- du, v -f dv) 
situés tous deux sur cette surface, est donné par la formule 
(2) ds = yEdu 2 -J- 2Fdu dv + G dv 2 , 
où 
j-, dx d x dy dy .dz dz 
du dv ‘ du dv ‘ du dv 7 
«-fêT+Œr+fê)- 
En se limitant sur la surface envisagée à des régions telles que 
par deux points quelconques situés dans une même région ne passe 
qu’une seule ligne géodésique, on rattache immédiatement à la for 
mule (2) la définition de la distance (curviligne) de deux points 
quelconques 
0 2 V 2 )