112 III 1. .F. Enriques. Principes de la métrique générale. 
sur la surface; cette distance est la longueur de Tare de la ligne 
géodésique de la surface passant par les deux points. 
La géométrie que l’on obtient ainsi est généralement désignée 
sous le nom de géométrie métrique différentielle. Le mot différentiel 
est pris ici dans le sens de „restreint en général à une partie de la 
surface“. Dans cette géométrie les propositions sont en effet essen 
tiellement restreintes à des régions limitées de la surface auxquelles 
correspondent des parties limitées du plan des (u, v). 
Dans la géométrie métrique différentielle, le concept de surfaces 
mutuellement applicables, ou plutôt celui de surfaces isométriques 
(c’est-à-dire telles que leurs éléments linéaires soient donnés par les 
mêmes formules), est fondamental. Deux surfaces isométriques ont en 
effet même géométrie différentielle 350 ). 
La géométrie plane métrique différentielle ordinaire se reflète 
ainsi dans les géométries métriques différentielles des diverses surfaces 
développables. Toutefois les géométries métriques sur diverses sur 
faces ayant même géométrie métrique différentielle ne sont pas en 
général identiques. 
Si même deux surfaces analytiquement définies ont même géo 
métrie métrique différentielle, la géométrie métrique sur l’une d’elles 
considérée comme entière ne trouve pas nécessairement sa représen 
tation dans la géométrie métrique sur l’autre. Les rapports de con 
nexion des deux surfaces [n° 43] jouent ici un rôle important. 
Ainsi quoique le cylindre soit une surface développable et ait 
donc même géométrie métrique différentielle que le plan, la géométrie 
métrique pour le cylindre entier diffère de celle du plan complet 
euclidien [n° 44]. 
B. Riemann a envisagé la géométrie métrique sur une surface S 
correspondant à un élément linéaire tel que dans l’expression (2) du 
carré ds 2 de sa longueur on ait 
(2) ds 2 = E(u, v) du 2 + 2F(u, v) du dv + G(u, v) dv 2 . 
La courbure K d’une surface en un point de cette surface a été 
définie par C. F. Gauss [III 29] comme étant la valeur réciproque du 
produit des rayons de courbure principaux de la surface en ce point. 
Dette courbure K est, comme on sait, un invariant par rapport à une 
déformation quelconque, sans extension ni déchirement de la surface. 
Elle s’exprime donc à l’aide des coefficients E, F, G, qui apparaissent 
■dans l’expression (2) de ds 2 et de leurs dérivées prises par rapport 
350) Voir à ce sujet l’article III 34.