33. Géométrie sur une surface courbe. 
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de l’élément linéaire dans l’expression déjà indiquée par B. Riemann 
[cf. n° 84] 
dx 2 -j- dy 2 
dx 2 -j- dy 2 
où h mesure la courbure de la surface. 
Si, au contraire, on choisit comme au n° 31 le centre de pro 
jection sur l’équateur même de la sphère, on a 
ds ,_ h> i^+iy: 
si, en particulier, on prend [III 32 et III 33] 
on a ainsi, en choisissant 
x — v, 
U 
ds 2 = du 2 + e® dv 2 . 
Si, dans ces formules, on envisage (x, y) ou (u, v) comme les 
coordonnées ordinaires cartésiennes de points situés dans un plan 
auxiliaire, la géométrie métrique du plan hyperbolique total trouvera 
dans ce plan auxiliaire une interprétation abstraite. 
Il n’en est pas de même pour les surfaces à courbure constante 
négative qu’on a jusqu’ici construites dans l’espace ordinaire. Ces 
surfaces sont toutes, en effet, limitées par des courbes ou des points 
singuliers. De là résulte qu’une portion seulement du plan hyper 
bolique trouve en elles sa représentation. C’est ce qu’on peut vérifier 
en se rapportant, par exemple, aux surfaces de révolution déterminées 
par E. F. A. Minding. Ce qui précède ne peut donc s’appliquer à 
ces surfaces particulières à courbure constante négative. 
Dès lors la question se pose de savoir s’il est possible de cons 
truire une surface pseudosphérique offrant l’image complète de la variété 
abstraite (u, v), donc aussi du plan hyperbolique entier. 
B. Hilbert 355 ) a démontré qu’il n’existe aucune surface analytique 
régulière satisfaisant à la question. Il a montré, en effet, que sur toute 
surface analytique régulière apparaissent des courbes singulières ou 
des points singuliers. La même conclusion s’applique aux surfaces 
355) Trans. Amer. math. Soc. 2 (1901), p. 87; Grundlagen 27 ), (2° éd.) p. 162, 
Anhang Y. 
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