84. Détermination métrique de Riemann dans une variété quelconque. 117 
une détermination métrique et ensuite définir pour elle une géométrie 
métrique différentielle, en prenant comme expression de la distance ds 
de deux points infiniment voisins 
0»!, æ 2 ? • • •> et 0»i + dx 1} x 2 + dx 2y . ., x n + dx n ) 
de cette variété v n la racine carrée positive de la forme quadratique 
supposée essentiellement positive 
JSa ik dx i dx k (i, le = 1,[2,..n). 
(», k) 
Quand nous choisirons ainsi ds nous dirons avec H. von Hélmholtz 
que le théorème de Pythagore généralisé s’applique à la variété v n 
envisagée. Cette forme de ds est d’ailleurs la plus simple que l’on 
puisse envisager lorsqu’on veut établir les concepts métriques dans 
une variété 
V n — fai) X 2l • * '} X n) 
en fixant la définition de la longueur d'une ligne 
x 1 = x 1 (t), x 2 — x 2 (t), . .., x % = xjf) 
représentée par des fonctions continues et dérivables dans tout inter 
valle qui n’est pas nul, de façon 
a) que cette longueur ait une valeur essentiellement positive, 
b) qu’elle dépende d’une façon continue et dérivable des points 
extrêmes et de la forme de la ligne, 
c) qu’elle jouisse de la propriété additive [cf. n° 30]. 
Ces conditions étant vérifiées, on obtient la fonction qui repré 
sente la longueur d’une ligne donnée en intégrant entre des limites 
convenablement choisies l’élément linéaire ds, où l’expression de ds 
ne peut dépendre que des coordonnées 
x u x 2 , . . ., x n ; x x -f dx 1} x 2 -f dx 2 , . . ., x n + dx n 
de deux points infiniment voisins de la ligne envisagée. 
Cette expression de ds ne peut d’ailleurs être fonction linéaire de 
x x , x 2 ,. . ., x n , dx x , dx 2 . . ., dx n , 
parce que, s’il en était ainsi, elle devrait, en raison de la continuité, 
prendre une valeur négative quand on fait varier la ligne d’une façon 
continue autour d’un de ses points jusqu’à ce qu’elle reprenne sa 
position primitive mais en sens inverse de son sens primitif. C’est 
ds 2 ou ds 4 , ou toute autre fonction univoque quelconque de ds 2 , qu’il 
faut chercher à exprimer en fonction de 
x±, x 2 , . . ., x n , dx i} dx 2 , . . ., dx n 
de façon à satisfaire aux conditions énoncées. Si l’on impose à 
l’expression de ds 2 la condition d’être dérivable autant qu’il faut