118 
III 1. F. Emiques. Principes de la métrique générale. 
pour pouvoir être développée aux environs de chaque point par la 
formule de Maclaurin jusqu’au troisième terme de cette formule, et 
en outre la condition d’être infiniment petite du deuxième ordre par 
rapport aux différentielles dx 1} dx 2 , ..., dx n , on démontre 361 ) que cette 
expression est nécessairement de la forme 
ds 2 — ^a ih dx i dx k (i, Te = 1, 2,..n), 
(»■> k ) 
en sorte que le théorème de Pythagore généralisé fournit bien, comme 
on l’annonçait, la forme la plus simple possible de ds. 
Mais si, au contraire, on admet quelque exception à la dérivabilité 
de ds 2 au point {x x , x 2 , . . ., æJ, on peut fixer autrement l’expression 
de ds 2 en fonction de 
^27 • • '7 dx kf dx2,. • ., dx n 
et en déduire, dans la variété envisagée v n , une détermination métrique 
distincte de celle qui repose sur le théorème de Pythagore généralisé. 
Ainsi on peut par exemple prendre pour ds 4 une forme essentielle 
ment positive du quatrième degré en dx t , dx 2 , . . ., dx n qui ne soit 
pas un carré parfait. B. Biemann 362 ) a déjà signalé la possibilité de ces 
déterminations métriques; mais il n’a développé que les conséquences 
concernant le cas le plus simple et le plus important, où le théorème 
de Pythagore généralisé s’applique. 
Dans toute variété v n où la détermination métrique résulte du théo 
rème de Pythagore généralisé, on peut envisager, comme on l’a fait pour 
les surfaces v 2 , des lignes géodésiques (ou lignes de longueur minimée). 
Dans des régions convenablement limitées de v n , chacune de ces lignes 
est complètement déterminée par deux de ses points. 
Le concept de distance entre deux points de v n étant fixé à l’aide 
de ces lignes géodésiques de v n , on peut ensuite définir dans v n les 
concepts de Vangle 36 *) et du volume 364 ). 
35. Variétés homogènes. B. Biemann s’est tout particulièrement 
occupé des variétés v n (en particulier des variétés v 3 ) qui, comme 
l’espace ordinaire, peuvent se mouvoir par applicabilité sur elles-mêmes. 
On dit de ces variétés qu’elles sont homogènes. 
361) Voir F. Emiques, Conferenze di geometria (cours autographié), Bologne 
1894/5, p. 58. 
362) Habilitationsschrift 1S ); Abh. Ges. Gôtt. 13 (1866/7), éd. 1868, math, 
p. 133; Werke, (2 e éd.) publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 272; trad. L. Laugel, 
Paris 1898, p. 280. 
363) Voir F. Emiques, Conferenze di geometria (cours autographié), Bologne 
1894/5, p. 65. 
364) T. Levi-Civita, Atti Ist. Yeneto (7) 4 (1892/3), p. 1765/815, surtout § 19).