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III 1. F. Emiques. Principes de la métrique générale. 
Ces théorèmes de F. Schur, par lesquels le problème des variétés 
métriques à courbure constante est en quelque sorte divisé en ses 
éléments projectifs, fournissent ainsi une solution très simple de ce 
problème. 
Les recherches de F. Schur excluent aussi l’existence de variétés 
v n à trois ou plus de trois dimensions ayant en chaque point déter 
miné une courbure constante sur tous les éléments de surface issus 
de ce point, courbure variant cependant d’un point à l’autre de v n . 
37. Recherches de Tilly sur l’expression de la distance finie. 
Au lieu de chercher avec JB. Biemann à caractériser la géométrie 
métrique par l’expression de la distance élémentaire entre deux points 
infiniment voisins, on peut chercher à caractériser directement l’ex 
pression de la distance finie entre deux points essentiellement distincts. 
C’est précisément le but que J. de Tilly 377 ) avait cherché à atteindre; 
il n’y est d’ailleurs pas parvenu. 
Considérons l’espace comme une variété à trois dimensions dans 
laquelle on a fixé un système de coordonnées x, y, z. Etant donnés 
deux points quelconques i et h de coordonnées 
O0 Vu *à> (®w Vu *k) 
leur distance (ih) s’exprime par une fonction symétrique 
F u i x i> Vi, ^ x k,y k ,zù 
de x i} y., z if x k , y k , z k qui satisfait à plusieurs conditions parmi les 
quelles les deux suivantes sont essentielles: 
a. La distance de deux points i et h varie avec ces deux points 
d’une façon continue et s’annule seulement quand les deux points 
coïncident. 
h. Etant donnée une suite de points 1, 2, 3, 4, et un point 2' 
tel que sa distance (12') au point 1 soit égale à la distance (1 2) des 
points 1 et 2, il existe une suite de points 3', 4', . . . tels que la 
distance entre deux points quelconques de la seconde suite soit égale 
à la distance entre les deux points homologues de la première. 
Cette seconde condition, qui, au fond, introduit la notion de 
mobilité 378 ) des figures, est une condition fonctionnelle à laquelle doit 
satisfaire la fonction à l’aide de laquelle s’exprime la distance (ilc) de 
deux points quelconques i et Je. 
Si Ton considère deux groupes de cinq points (1, 2, 3, 4, 5) et 
877) Mém. Soc. sc. phjs. nat. Bordeaux (2) 3 (1880), p. 1/190; Mém. couronnés 
et autres Mém. Acad. Belgique, in 8°, 47 (1892/3), mém. n° 5, p. 3/80 [1892]. 
378) Voir au n° 39 les postulats de H. von Helmholtz.