37. Recherches de Tilly sur l’expression de la distance finie. 123 
(1, 2', 3', 4', 5') ayant en commun un premier point 1, des neuf 
équations „ 2) _ (1 ^ (13) = (13 - ); (14) = (14'), 
(1) (15) -(15'), (23) = (2-30, (24) = (2'4'), 
1(2 6) = (2'6'), (84)-(3'4') J (3 5) = (3' 5') 
on déduit, sous certaines restrictions convenables, que l’on a identi- 
quement (46) = (4'6'). 
Il existe donc nécessairement, entre les dix distances de deux quel 
conques des cinq points d’un groupe (1, 2, 3, 4, 5), une relation carac 
téristique dont la forme doit être indépendante du groupe des cinq 
points considérés. On a donné à cette relation le nom de relation des 
cinq points. C’est une condition d’homogénéité de l’espace. 
La relation des cinq points peut se mettre sous la forme 
W[(1 2) (13) (14) (15) (2 3) (2 4) (2 5) (3 4) (3 5) (4 5)] = O, 
où est une fonction déterminée des dix distances qui figurent entre 
crochets. Pour abréger, nous représenterons cette relation par l’équa 
tion symbolique (1 2 3 4 5) = O 
Si l’on envisage un groupe de six points (1, 2, 3, 4, 5, 6), la con 
dition d’homogénéité de l’espace se traduit par une condition dite 
relation des six points à laquelle une fonction déterminée W, analogue à 
la précédente, doit satisfaire. On peut énoncer simplement cette condi 
tion en observant tout d’abord que, après avoir fixé arbitrairement sous 
certaines restrictions convenables (16), (26) et (3 6), on peut toujours 
déterminer (4 6) et (5 6) de façon que les relations 
(1 2 3 46) = O, (1 2 3 5 6) = 0 
soient vérifiées en même temps que la relation 
(1 2 3 4 5) = O, 
quelle que soit la forme de la fonction F. 
des six points peut être énoncée ainsi: 
Les trois relations simultanées 
(1 2 3 45) = O, (12 34 6) = O, 
entraînent comme conséquences les trois relations 
(12 45 6) = O, (1 3 45 6) = O, (2 3 4 5 6) = O. 
Les recherches concernant la relation des cinq points, faites par 
A. Cayley 379 ), L. N. M. Carnot 380 ) et J. L. Lagrange 381 ) pour la géo 
379) *Cambr. math. J. 2 (1839/41), p, 267/71; Papers 1, Cambridge 1889, p. 1/4.* 
380) ^Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de 
cinq points pris dans l’espace, Paris 1806.* 
Ceci posé, la condition 
(1 2 3 5 6) = 0