40. Recherches de S. Lie. 
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chaque point P de v 3 lorsque, le point P restant fixe, il est encore 
possible d’amener par des transformations du groupe un élément 
linéaire p, issu de P, à coïncider avec un autre élément linéaire quel 
conque p, issu de P, et un élément de surface n, mené par p, en un 
élément de surface quelconque tc , mené par p'. 
Ceci posé, on montre que les groupes de mouvements euclidiens 
et non-euclidiens de l’espace envisagé comme une variété à trois dimensions 
v 3 = O, y, e) 
sont complètement caractérisés par la propriété d’être réels, transitifs, 
engendrés par des transformations infinitésimales et de rendre possible 
tout mouvement infiniment petit autour de chaque point arbitrairement 
fixé dans v 3 . 
La conclusion s’étend sans modification importante au cas des 
groupes de mouvements dans des variétés à un nombre n > 3 de 
dimensions; mais pour n = 2, il faut ajouter le postulat de mono 
dromie de H. von Helmholtz, afin d’écarter d’autres types de groupes 
qui seraient conciliables avec l’hypothèse des mouvements infiniment 
petits envisagés. 
Si l’on considère, au contraire, les propriétés des mouvements dans 
une région finie simplement connexe, on arrive au résultat suivant: 
La géométrie métrique générale de Vespace peut être fondée au sens 
différentiel, c’est-à-dire pour une région limitée de l’espace, sur les 
postulats suivants: 
1. L’espace est une variété à trois dimensions (v 3 ) où Von peut 
fxer un système de coordonnées. 
2. Les mouvements dans l’espace forment un groupe réel de trans 
formations engendré par des transformations infinitésimales. 
3. Si Von fixe arbitrairement un point {y x , y 2 °, y 3 °) de Vespace à 
trois dimensions, les coordonnées x x , x 2 , x 3 des points avec lesquels un 
point (xf, x 2 , x 3 ) peut être amené à coïncider par un mouvement con 
venable satisfont à une équation 
Si (xf, x 2 °, x 3 °, yf, y 2 °, y 3 , x x ,x 2 , xf) = 0 
représentant une surface qui passe par le point (xf, x 2 , x s °), mais non 
par le point {yf, y 2 °, y 3 °). 
4. Autour du point [y®, y 2 °, yf) on peut délimiter dans l’espace 
une région à trois dimensions telle que, le point {yf, y 2 °, y 3 °) restant 
fixe, tout autre point {x x , x 2 , x 3 ) de cette région puisse être amené, par 
un mouvement continu, en un quelconque des points dont les coordonnées 
vérifient l’équation 
Si = 0. 
Encyclop. des soienc. mathémat. III 1. 
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