132 III 1. F. Enriques. Rapports de connexion de l’espace illimité. 
euclidienne ou non-euclidienne s’applique. Aux environs d’un point, 
on peut d’ailleurs faire correspondre une région déterminée d’un espace 
projectif métrique S 37 de façon que les figures correspondantes tracées 
dans V 3 et S 3 ‘soient congruentes. 
Mais on ne peut pas affirmer que la correspondance ainsi établie 
s’étend nécessairement à la variété totale V 3 et à l’espace projectif complet 
S 3 ; il peut au contraire arriver que la géométrie de la variété totale 
diffère de la géométrie de l’espace complet S 3 , comme la géométrie d’une 
surface entière diffère souvent de la géométrie d’une seconde surface, 
même quand les deux surfaces sont applicables au sens différentiel [n° 16]. 
Il peut ainsi arriver que, dans toute partie simplement connexe 
située dans une variété V 3 , il y ait oo 6 mouvements possibles, et que 
cependant, par suite de la connexion de la variété totale F 3 , cette 
variété totale V 3 ne puisse se mouvoir qu’avec un degré de liberté 
moindre. Un fait analogue se produit déjà dans la géométrie des 
surfaces; si l’on envisage, par exemple, la surface d’un cylindre cir 
culaire applicable sur le plan dans le sens différentiel, on voit qu’une 
portion simplement connexe quelconque de la surface cylindrique peut 
se mouvoir sur cette surface autour d’un de ses points arbitrairement 
fixé, mais la surface entière ne peut plus se mouvoir dès qu’un seul 
de ses points est fixé. 
Supposons que non seulement chacune des parties d’une variété V 3 
à courbure constante puisse se mouvoir de oo 6 manières, mais qu’il 
en soit de même de la variété entière V 3 . Est-il alors possible d’en 
visager la variété entière V 3 comme un espace projectif métrique S 3 ‘? 
Il est un cas bien connu dans lequel cela n’est certainement pas possible. 
Dans une variété à quatre dimensions dans laquelle on a fixé un système 
de coordonnées cartésiennes, considérons, en effet, la variété à trois 
dimensions dont les éléments (ou points) correspondent à toutes les 
valeurs des quatre coordonnées x lf x 2 , x 3 , x i satisfaisant à la relation 
x x + x v + — r 2 , où r est une constante donnée; on a donné 
à cette variété le nom d’espace sphérique de rayon r. Il y a oo 6 mouve 
ments qui transforment en soi l’espace sphérique tout entier. Toutefois 
celui-ci n’est pas identique à l’espace elliptique; car deux points de 
l’espace sphérique ne déterminent pas toujours une seule ligne géo- 
désique contenant, en même temps qu’un point (a it a 2 , a 3 , u 4 ), le point 
opposé (— a l} — a 2 , —a 3 , — a 4 ). L’espace sphérique est plutôt dérivé 
de l’espace elliptique par une transformation 402 ) 11, 2| de ce dernier 
402) *On entend par transformation [2, 1] entre deux variétés v et v une 
transformation univoque non réversible dont l’inverse [1, 2] fait correspondre à 
chaque élément de v deux éléments de v.*