44. Formes à deux dimensions de Clifford-Klein. 133 
(tout comme la sphère ordinaire peut être dérivée du plan elliptique 
ou de la gerbe). 
On admettait autrefois, en général, que la géométrie sphérique 
était la seule géométrie compatible avec l’hypothèse d’une courbure 
constante positive 403 ) et que, par suite, dans une variété de courbure 
constante positive sans points singuliers, considérée comme entière, 
deux lignes géodésiques devaient nécessairement se rencontrer en deux 
points opposés. Comme nous l’avons déjà signalé plus haut [n° 16], 
F. Klein 404 405 ) a remarqué que cette opinion était erronée. S. Newcomb m ) 
et W. Killing 406 ) ont envisagé l’espace elliptique en opposition avec 
l’espace sphérique ou parallèlement à l’espace sphérique. 
Revenons maintenant à la question précédemment posée. On a 
démontré 407 ) que, dans tous les cas, une variété à trois dimensions de 
courbure constante 7c, qui, considérée dans son entier, admet oo 6 mouve 
ments en elle-même, comme en chacune de ses parties, peut être envisagée 
quand 7c < 0 comme un espace hyperbolique, quand 7c = 0 comme un 
espace parabolique, et quand 7c > 0 soit comme un espace elliptique soit 
comme un espace sphérique. 
G. Veronese 408 ) a introduit l’espace sphérique à côté de l’espace 
elliptique par un système convenable de postulats. Pour cela, il sup 
pose que la proposition: deux points déterminent une droite est en 
défaut pour certaines paires particulières de points d’une certaine 
droite; il admet aussi que cette exception concerne également tous 
les couples de points congruents aux premiers sur la droite; mais 
qu’un point d’une droite quelconque et un point en dehors de cette 
droite ne déterminent jamais qu’une seule droite. 
44. Formes à deux dimensions de Clifford-Klein. Abandonnons 
maintenant la condition que notre variété V 3 à courbure constante, 
considérée dans son entier, puisse se mouvoir de oo G manières. 
On trouve alors d’autres formes de l’espace qui, dans les environs 
de chaque point, peuvent être envisagées comme une partie d’espace 
projectif métrique, mais ces formes différeront cependant essentiellement 
d’un tel espace par leurs propriétés de connexion; ces formes ont été 
désignées par W. Killing 409 ) sous le nom de formes de Clifford-Klein. 
403) B. JRiemann ne semble cependant pas avoir émis d’opinion à ce sujet. 
404) Math. Ann. 4 (1871), p. 604/5 en note; id. 6 (1873), p. 125. 
405) J. reine angew. Math. 83 (1877), p. 293. 
406) J. reine angew. Math. 86 (1879), p. 72; 89 (1880), p. 265. 
407) TF". Killing, Grundlagen 77 ) 1, p. 313. 
408) Fondamenti 26 ), p. 435. 
409) Math. Ann. 39 (1891), p. 257.