134 IH 1. F. Enriques. Rapports de connexion de l’espace illimité. 
Considérons une variété entière F 2 à courbure constante nulle. 
Toute portion simplement connexe de cette variété F 2 peut être repré 
sentée d’une façon isométrique bi-univoque sur une certaine partie du 
plan euclidien. Mais pour pouvoir représenter de cette façon la va 
riété F 2 tout entière sur le plan euclidien, il faut éventuellement 
commencer par la diviser en parties convenablement choisies. L’image 
de V 2 apparaît alors sur une partie du plan euclidien limitée par une 
ligne formée de parties deux à deux congruentes l’une à l’autre. Les 
deux parties congruentes soudées l’une à l’autre correspondent sur F 2 
aux deux côtés des coupures ayant servi à diviser F 2 . 
Un premier exemple d’une forme de Clifford-Klein à deux dimen 
sions est fourni par un cylindre fermé, un cylindre droit à base 
circulaire par exemple. Si l’on coupe le cylindre le long d’une 
de ses génératrices, on peut le représenter d’une façon bi-univoque 
sur une partie du plan euclidien comprise entre deux droites paral 
lèles. Inversement, on peut considérer toute partie du plan euclidien 
comprise entre deux droites parallèles comme l’image complète d’un 
cylindre droit à base circulaire, si l’on convient de regarder comme 
images du même point du cylindre les points des deux droites paral 
lèles situées sur une même perpendiculaire à ces deux droites 410 411 * ). 
On obtient un second exemple d’une forme de Clifford-Klein en 
traçant dans le plan euclidien un parallélogramme, et en convenant 
d’envisager comme correspondants les points du périmètre de ce paral 
lélogramme situés sur une même parallèle aux deux autres côtés. 
En effectuant ses recherches sur l’espace elliptique, TF. K. Clif 
ford 414 ) a trouvé que l’on peut construire dans un tel espace des surfaces 
réglées du second degré de courbure nulle (au sens de la détermination 
métrique elliptique) et cependant de contenu total fini. A ces qua- 
driques correspond d’une façon isométrique biunivoque un parallélo 
gramme du plan euclidien, de façon qu’à deux points correspondants 
du périmètre de ce parallélogramme ne correspond qu’un seul et même 
point de la coupure effectuée sur la quadrique le long d’une de ses 
génératrices. (Ces quadriques réglées sont les quadriques qui coupent 
l’absolu imaginaire jP 2 suivant un quadrilatère rectiligne). C’est en 
partant de ce résultat de TF. K. Clifford, que F. Klein a développé la 
théorie générale des variétés à deux dimensions envisagées ici. 
410) Yoir F. Klein, Math. Ann. 37 (1890), p. 544; Nicht-Euklidische Geo 
metrie (cours autographié Gottingue) 2 (1890), p. 293. 
411) W. K. Clifford 342 ). Yoir aussi F. Klein 410 ) et L. Bianchi, Atti Accad. 
Torino 30 (1894/6), p. 743; Ann. mat. pura appi. (2) 24 (1896), p. 93.