45. Formes à trois dimensions de Clifford-Klein. 
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Les surfaces cylindriques, aussi bien que les surfaces de Clifford 
considérées dans leur totalité, ne peuvent se mouvoir sur elles-mêmes 
que de oo 2 manières. 
On démontre qu’une variété euclidienne V 2 à deux dimensions 
illimitée, sans points singuliers ou lignes doubles, mais à deux faces, 
peut s’appliquer entièrement soit sur le plan euclidien, soit sur un 
cylindre droit à base circulaire, soit sur la surface de Clifford 412 ). 
On rencontre d’ailleurs un autre type de variété V 2 à une seule 
face qui est représentée sur une surface de Clifford de façon qu’à 
chaque point de V 2 correspondent deux points homologues sur la sur 
face de Clifford, tandis qu’à chaque point de cette surface ne cor 
responde qu’un point de F 3 413 ). En envisageant de même les différents 
types de variété V 2 à courbure constante positive ou négative, on arrive 
aux résultats suivants 414 ): 
TJne variété illimitée à deux dimensions, à courbure constante, positive 
peut s’appliquer entièrement, d’une façon bi-univoque, soit sur le plan 
elliptique, soit sur la sphère. Il existe, par contre, une infinité de types 
de variétés illimitées à deux dimensions (sans points singuliers ni lignes 
doubles), ayant une courbure constante négative, qui, envisagées dans leur 
totalité, ne peuvent se mouvoir sur elles-mêmes de oo 3 manières. Leur 
détermination conduit à des divisions du plan hyperbolique en polygones 
congruents qui sont analogues aux divisions du plan euclidien soit en 
bandes parallèles, soit en parallélogrammes. 
Tout cet ordre de recherches se rattache étroitement aux questions 
géométriques que l’on aborde dans la théorie des fonctions des variables 
complexes, quand on y étudie les fonctions périodiques ainsi que les 
fonctions automorphes linéaires 415 ). 
45. Formes à trois dimensions de Clifford-Klein. Parmi les 
variétés F 3 a trois dimensions, on trouve de même des formes de 
Clifford-Klein. Elles sont également illimitées, sans points singuliers 
ni lignes doubles, et, envisagées dans leur totalité, elles ne peuvent 
se mouvoir sur elles-mêmes de oo 6 manières, comme le peut une quel 
conque de leurs parties simplement connexe. 
412) F. Klein* 10 ); W. Killing, Math. Ann. 39 (1891), p. 257; Geometrie 77 ) 1, 
p. 325. 
413) F. Klein 410 ). 
414) F. Klein 410 )', cf. W. Killing, Geometrie 77 ) 1, p. 325 et smv. 
415) Yoir par ex. H. Poincaré, Acta math. 1 (1882), p. 1/62 on encore l’ex 
posé résumé de B. Fricke et F. Klein, Vorlesungen über automorphe Funktionen 1, 
Leipzig 1897. Cf. II11 et II12.