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III 1. F. Enriques. Géométrie non-arcliimédienne. 
extérieur à cette droite, on obtient un plan (espace à deux dimensions); 
en projetant ce plan par un point extérieur à ce plan on obtient un 
espace à trois dimensions; en projetant cet espace à trois dimensions 
par un point extérieur à cet espace on obtient un espace à quatre 
dimensions; et ainsi de suite. 
G. Veronese observe que, si l’on envisage une droite sur laquelle 
sont donnés les rapports de disposition et de congruence, on peut, à 
l’aide du postulat de G. Cantor, construire, en partant de certaines suites 
de points donnés sur la droite, d’autres points envisagés comme points 
limites de ces suites de points. Il examine dans quelle mesure les 
hypothèses sur lesquelles repose cette construction sont compatibles 
avec l’existence de points situés à l’extérieur de l’ensemble des points 
construits ainsi successivement sur la droite, et parvient ainsi à un 
espace général d’une infinité de dimensions et contenant une infinité 
d’unités rectilignes, qui est la forme la plus étendue à l’intérieur de 
laquelle la construction envisagée est toujours possible. 
G. Veronese a construit deux systèmes géométriques en prenant 
comme points de départ deux concepts différents de la droite. 
1) Un système dans lequel la droite est une ligne ouverte et où 
l’on peut mener, par un point donné extérieur à une droite donnée, 
une infinité de parallèles à cette droite. 
2) Un système dans lequel, comme dans la géométrie de B. Bie- 
mann, la droite est une ligne fermée. 
En ce qui concerne le second système, il s’est surtout attaché à 
envisager les faits géométriques, concernant les diverses unités, avec 
ce qu’on pourrait appeler une approximation infiniment grande. Il 
remarque que, dans ce second système, aux environs d’un point quel 
conque la géométrie peut être envisagée comme euclidienne avec une 
approximation infinie (au sens de l’infini actuel). 
50. Géométrie projective non-arehimédienne. G. Veronese a 
remarqué que, dans son espace ou dans celui qui peut être défini 
analytiquement par les nombres de T. Levi-Civita, la géométrie pro 
jective s’applique. 
Mais on est encore parvenu à une géométrie projective non-archi- 
médienne à la suite de recherches ayant pour objet de restreindre les 
hypothèses nécessaires à la démonstration géométrique du théorème 
fondamental de la projectivité au sens restreint [cf. n° 27]. 
Il s’agit d’établir ce théorème sans introduire les concepts ordi 
naires de la continuité [n° 13]. 
A l’aide de considérations métriques, où l’on envisage la similitude