50. Géométrie projective non-archimédienne. 
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perspective comme une affinité, H. Wiener im ) avait établi que le 
théorème fondamental de la projectivité au sens restreint de F. A. 
Poncelet peut être déduit des théorèmes de Desargues et de Pappus 
sans qu’il soit nécessaire de faire appel à la continuité [n° 13]. 
Ce fait a été établi à nouveau par F. Schur 4S1 ); mais F. Schur en 
la, le premier, donné une démonstration complète, et il ’a donnée à 
l’aide de considérations projectives seulement. F. Schur a fait, à cet 
effet, usage des postulats de l’appartenance. 
H. G. Zeuthen 430 431 432 ) a proposé de rattacher le théorème fondamental 
de la projectivité au sens restreint à la propriété fondamentale des 
deux systèmes de génératrices de l’hyperboloïde 433 ). 
F. Schur 434 435 ) utilisant une remarque de G. F. Dandélin i3b ) a montré 
comment on peut déduire de cette propriété de l’hyperboloïde le 
théorème de Pappus, duquel résulte, comme on l’a dit à l’instant, le 
théorème fondamental de la projectivité. F. Schur remarque qu’il suffit 
d’admettre l’existence d’un seul hyperboloïde jouissant de la propriété 
fondamentale envisagée, et fait ressortir que des postulats de la con 
gruence on déduit immédiatement que l’hyperboloïde de révolution 
jouit de cette propriété fondamentale concernant ses deux systèmes 
de génératrices. 
D. Hilbert a encore restreint davantage les hypothèses nécessaires 
pour la démonstration du théorème de Pappus: il conserve les postulats 
de la congruence, mais ne quitte pas le plan; en fait il n’utilise donc 
parmi les postulats de l'appartenance que ceux qui se rapportent au 
plan. Il postule l’axiome des parallèles. 
Comme résultat de toutes ces recherches, on peut énoncer le théo 
rème que voici: 
Le théorème fondamental de la projectivité entendu au sens restreint 
[n° 27] peut être démontré en adjoignant aux postulats projectifs de la 
géométrie plane les postulats de la congruence et le postulat des paral- 
430) Jahresb. deutsch. Matin-Ver. 1 (18'JO/l), éd. Berlin 1892, p. 45; 3 (1892/3), 
éd. Berlin 1894, p. 70. 
431) Math. Ann. 51 (1899), p. 401/9; voir aussi id. 56 (1902), p. 265/92 et 
L. Baiser, Math. Ann. 55 (1902), p. 293/300. 
432) G. R. Acad. sc. Paris 125 (1897), p. 638/40, 858/9; 126 (1898), p. 213/5. 
L’essai de démonstration de H. G. Zeuthen n’a pas abouti. 
433) Il s’agit de la proposition bien connue: soient trois droites (directrices) 
d l , d t , d s ne se coupant pas deux à deux et quatre droites g x , g%, g a , g t ren 
contrant chacune d x , d 2 , d s . Toute droite rencontrant g x , g t , g s rencontre aussi p 4 . 
434) Math. Ann. 51 (1899), p. 401/9. 
435) Ann. math, pures appl. 15 (1824/6), p. 390 et suiv. [voir III 17, 23].