52. Développements non-archimédiens sur la théorie des parallèles. 145 
le principe de Zolt, on peut prouver le théorème de l’égalité des 
angles de base dans le triangle isocèle 439 440 ). 
Ces résultats mettent en lumière les rapports des théorèmes fon 
damentaux de la géométrie métrique plane (construite dans le sens 
des anciens) avec l’intuition de l’espace à trois dimensions, de même que 
le résultat du n° 27 touchant le théorème de Desargues démontre 
l’importance de l’espace à trois dimensions pour fonder la géométrie 
projective. 
52. Développements non-archimédiens sur la théorie des paral 
lèles. Les rapports du postulat d’Archimède avec la théorie des 
parallèles ont été mis en lumière en se plaçant à deux points de vue 
distincts: 
1) en établissant les fondements de la géométrie hyperbolique 
non-archimédienne: c’est ce qu’ont fait M.JDehn, F.Schur et D. Hilbert ; 
2) à l’occasion des développements non-archimédiens relatifs aux 
théorèmes de G. Saccheri (ou de A. M. Legendre), en d’autres termes 
en construisant les systèmes géométriques de M. Dehn. 
Dans l’étude des principes de la théorie des parallèles de 
J. Bolyai et N I. Lohacevskij on applique souvent le postulat de la 
continuité sous la forme ordinaire de R. Dedekind ainsi que le postulat 
d’Archimède (qui est contenu dans celui de R. Dedekind). 
On a tout d’abord recours à la continuité pour établir l’existence 
des parallèles (menées par un point à une droite donnée) puisqu’on 
définit les parallèles comme des droites limites séparant les droites 
sécantes des droites non-sécantes. 
Si, l’existence des parallèles étant admise comme résultat d’un 
postulat, on adjoint ce postulat aux postulats a, /3, y des n os 9, 10, 11 
restreints au plan, la théorie de J. Bolyai et N. I. Lohacevskij peut, 
comme l’a fait voir D. IIilhert U0 ), être développée d’une façon très simple 
sans faire usage de la continuité ou du postulat d’Archimède. Il faut 
d’ailleurs remarquer 441 ) que la possibilité de procéder ainsi peut être 
considérée comme résultant implicitement des principes mêmes de la 
géométrie non-archimédienne, puisque, en admettant l’existence de 
parallèles dans le plan, on se donne la conique limite des véritables 
points pour laquelle la métrique est définie au sens de A. Cayley et 
F. Klein [n° 29]. 
439) Cela résulte déjà implicitement du mémoire de T. Bonnesen, Nyt 
Tidsskrift mat. Kôbenhavn (Copenhague) Afd. B 11 (1900), p. 25. 
440) Math. Ann. 57 (1903), p. 137/50; Grundlagen 27 ), (2 tí éd.) p. 107/20; cf. 
H. Liebmann, Math. Ann. 59 (1904), p. 110/28. 
441) Cf. F 1 . Schur, Math. Ann. 59 (1904), p. 314. 
Encyolop. des scieno. mathémat. III 1. 
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