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HI 1. F. Enriques. Principes de la géométrie. 
F. Schur ui ) a prouvé que Vexistence de droites parallèles (limites 
de droites sécantes) dans le plan de J. Bolyai et N. I. Lobacevskij peut 
être démontrée à Vintérieur du plan sans faire usage de la continuité 
ou du postulat d’Archimède, si Von adjoint aux postulats ordinaires de 
Vappartenance, de la disposition et de la congruence, le postulat qu’un 
cercle et une droite dont la distance au centre de ce cercle est moindre 
que le rayon, ont deux points communs. 
Ce dernier postulat peut être envisagé comme le postulat fonda 
mental des constructions euclidiennes. 
L’importance du résultat obtenu par F. Schur résulte surtout de 
ce qu’il a pu aussi démontrer qu’inversement: 
Si les postulats de l’appartenance, de la disposition et de la con 
gruence [cf. a, (i, y des n 08 9, 10, 11] s’appliquent, on fait, en supposant 
l’existence de droites parallèles dans le plan de J. Bolyai et N. 1. Loba 
cevskij, une hypothèse qui contient le postulat fondamental des construc 
tions euclidiennes. 
Si, en efîet, on considère la métrique projective relative à la 
conique limite des véritables points, on peut, quand les points d’inter 
section de cette conique avec une véritable droite sont donnés, déter 
miner les points d’intersection d’un cercle avec une droite dont la 
distance au centre de ce cercle est inférieure au rayon. 
Après examen des constructions que l’on peut exécuter à l’aide 
du seul transporteur de segments ou plus simplement encore à l’aide 
du seul transporteur du segment-unité, JD. Hilbert us ) a prouvé que le 
postulat fondamental des constructions euclidiennes ne résulte pas des 
postulats a, fi, y des n° 8 9, 10, 11. 
En ce qui concerne les rapports entre les théorèmes de G. Saccheri 
sur la somme des angles d’un triangle et les postulats sur les paral 
lèles, M. De/in 442 443 444 ) a obtenu les résultats suivants: 
En se basant sur les postulats de l’appartenance, de la disposition 445 ) 
et de la congruence, mais sans faire usage du postulat d’Archimède, 
on démontre que la somme s des angles de chaque triangle est plus 
grande que deux angles droits, égale à deux angles droits ou plus petite 
que deux angles droits, s’il en est ainsi pour un seul triangle particulier. 
Si l’on n’applique pas le postulat d’Archimède, le fait d’être dans 
le cas où la somme s est plus grande que deux angles droits n’im 
442) Math. Ann. 59 (1904), p. 314/20. 
443) Grundlagen 27 ), (2 e éd.) p. 73. 
444) Math. Ann. 53 (1900), p. 404. 
445) Ceux-ci sont modifiés au besoin, de façon que la ligne droite puisse 
être fermée.