62. Développements non-archimédiens sur la théorie des parallèles. 147 
plique pas nécessairement que la droite soit une ligne fermée, ni que 
toutes les droites du plan la coupent ; de même, le fait d’être dans le 
cas où la somme s est égale à deux angles droits n’implique pas que 
l’on puisse démontrer le postulat d’Euclide d’après lequel par un point 
on peut mener une et une seule droite parallèle à une droite donnée; 
par contre le fait d’être dans le cas où la somme s est plus petite que 
deux angles droits, implique (comme dans la géométrie hyperbolique 
ordinaire) l’existence d’une infinité de droites passant par un point 
extérieur à une droite donnée et ne rencontrant pas cette droite. 
Ces résultats ont été obtenus par M. Dehn par la construction de 
systèmes géométriques nouveaux non-arcbimédiens de deux types diffé 
rents qu’il appelle système non-legendrien et système semi-euclidien. 
Dans la géométrie non-legendrienne (on devrait plutôt dire non- 
saccherienne) le rapport de la somme des angles d’un triangle à deux 
angles droits est plus grand que 1 et, par un point du plan extérieur 
à une droite donnée, on peut mener une infinité de droites ne ren 
contrant pas la droite donnée ou, comme dit M. Dehn, parallèles à 
la droite donnée 446 ). 
Dans la géométrie semi-euclidienne, le rapport de la somme des 
angles d’un triangle à deux angles droits est égal à 1, et, par un 
point extérieur à une droite donnée, on peut aussi mener une infinité 
de droites ne rencontrant pas la droite donnée. 
Ces résultats sont résumés dans le schéma suivant, où ç désigne 
le rapport de la somme des angles dfim triangle à deux angles droits. 
Par un point exté 
zéro parallèle 
rieur à une droite, on 
une parallèle 
jeut mener à cette droite 
une infinité de parallèles 
e>i 
Géométrie elliptique 
Cas impossible 
Géométrie non-legendrienne 
e = i 
Cas impossible 
Géométrie euclidienne 
Géométrie semi-euclidienne 
e< i 
Cas impossible 
Cas impossible 
Géométrie hyperbolique 
446) Ce système serait à étudier en connexion avec la seconde forme véro- 
nésienne [voir n° 49]. 
G. Veronese, Atti del quarto congresso internazionale dei matematici in 
Roma 1908, vol. 1, Rome 1909, p. 197/208; trad. française: Bull. se. math. (2) 38 
(1909), p. 186/204. 
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