1. Caractères spéciaux des nombres de Veronese etc. 
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finiment petites, en particulier des systèmes dont les nombres peuvent 
être représentés sous la forme 
A M a' 1 + A /u _ 1 co^- 1 H h A 1 (o + A 0 + a x r¡ H h a v r¡ v , 
où [i et v sont des nombres entiers positifs et où les unités (infini 
ment grandes) a et (infiniment petites) rj sont des nombres transfinis 
tels que l’on ait pour chaque nombre N fini 
ío 1 > N o 2-1 
et 
rf <C N r¡ x ~\ 
quel que soit le nombre entier positif X. 
La continuité de G. Veronese n’impose ici une condition qu’au 
dernier coefficient a v (le nombre a v doit être continu au sens de 
B. Dedekind); chacun des autres coefficients a i ainsi que chacun des 
coefficients A i peut être choisi arbitrairement parmi les nombres pour 
lesquels le postulat d’Archimède est vérifié; on peut même supposer 
qu’il ne puisse prendre qu’un nombre fini de valeurs. 
Les nombres transfinis les plus simples qui correspondent au 
concept du continuum de G. Veronese sont formés à l’aide d’un nombre 
infini d’unités transfinies; d’une façon plus précise ils sont de la forme 
A^o^ -f A /u _ 1 o" ~ 1 + • • • + A 1 co -f- A 0 -f- a x r¡ -j- • • • -f- a v if -J- 
et contiennent un nombre fini 3 ) de puissances de », mais une in 
finité de puissances de rj. 
La continuité de G. Veronese n’impose ici aux coefficients aucune 
condition. On y fait d’ailleurs abstraction de ce que ces nombres 
transfinis doivent satisfaire à des règles quelconques de calcul ou de ce 
que leur ensemble doit former un corps quelconque de nombres. 
Les nombres monosemii de T. Levi-Civita sont construits d’une 
façon analogue, mais ils ont un caractère plus général puisque les 
3) Cette restriction est ici essentielle. G. Veronese [Fondamenti di geo 
metría, Padoue 1891, p. 200; trad, allemande par A Schepp, Grundzüge der 
Geometiie, Leipzig 1894, p. 217] avait donné un exemple dans lequel figuraient 
des nombres avec une infinité de puissances de co. Les règles habituelles du calcul 
ne conviennent plus à ces nombres; c’est au fond ce qu’a objecté A. Schœnflies 
[Atti R. Accad. Lincei Bendic. mat. (5) 6 II (1897), p. 362] à l’introduction de ces 
nombres. 
G. Veronese et T. Levi-Civita [Atti R. Accad. Lincei Bendic. mat. (5) 71 (1898), 
p. 79, 91, 113] ont observé que la conception générale des nombres transfinis de 
G. Veronese s’opposait à l’introduction de ces nombres dont il avait (à tort) fait 
usage dans un exemple; l’objection de A. Schœnflies n’avait dès lors plus de 
raison d’être.