150 HI la. A. Schoenflies. Notes sur la géométrie non-archimédienne. 
exposants de a qui y figurent forment une suite quelconque de nombres 
décroissants, et ceux de rj une- suite quelconque de nombres croissants. 
Ce que l’on vient de dire pour les nombres de G. Veronese s’applique 
cependant encore à ces nombres monosemii. 
On peut se proposer de définir les lois des quatre opérations 
rationnelles effectuées sur les nombres transfinis de G. Veronese dont 
il vient d’être question. Les définitions que l’on a adoptées coïncident 
avec celles qui permettent d’étendre les quatre opérations aux séries 
entières. En particulier pour que la division soit toujours possible, 
il faut introduire des nombres contenant une infinité de puissances de rj. 
Si au lieu de nombres on envisage un corps de nombres, il 
faut encore poser quelques conditions auxquelles doivent satisfaire 
les coefficients A i et a r Pour obtenir en particulier un corps rationnel 
dans lequel la continuité de G. Veronese ait lieu, il suffit de prendre 
pour tous les coefficients A i et a i des nombres rationnels. 
Il en est de même pour les nombres d’un caractère plus général 
encore que celui envisagé ici où les coefficients des puissances de œ 
et rj forment un ensemble bien ordonné ayant la puissance du continu, 
et il en est aussi de même pour les nombres analogues de T. Levi-Civita. 
2. Géométrie projective non-arcliimédieime. La géométrie projec 
tive s’applique dans l’espace de G.Veronese ou dans celui de T.Levi-Civita. 
Cela est manifeste tant qu’on ne quitte pas le domaine des 
relations géométriques linéaires puisque toutes les opérations ration 
nelles s’appliquent aux nombres de G. Veronese. 
Mais quand on quitte le domaine des nombres rationnels, les 
nombres de G. Veronese ne suffisent plus, malgré leur propriété de 
continuité, à la représentation des points, et cela même si l’on se 
donne la latitude de prendre pour les coefficients A t et a t qui figurent 
dans les expressions des nombres de G. Veronese tous les nombres 
ordinaires (arcbimédiens) possibles. 
La cause profonde de cette anomalie est que, dans la continuité 
de G. Veronese, en opposition avec celle de R. Dedekind, apparaissent 
des lacunes auxquelles ne correspond aucune quantité numérique du 
système continu [n° 13]. La continuité de G. Veronese est, à cet 
égard, en quelque sorte plus restreinte que celle de R. Dedekind. 
Ainsi, pour ne citer qu’un exemple, la détermination des points 
doubles de deux ponctuelles projectives situées sur la même droite 
peut, dans certains cas, être illusoire 4 ) et il en est de même, dans 
4) Voir l’exemple donné par A. Schoenflies, Jahresb. deutsch. Math.-Yer. 15 
(1906), p. 39.