3. Forme logique du développement de la géométrie. 
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1°) On énoncera explicitement les concepts primitifs au moyen 
desquels on se propose de définir logiquement tous les autres; 
2°) On énoncera explicitement les propositions fondamentales 
(postulats) grâce auxquelles on se propose de démontrer logiquement 
les autres propositions (théorèmes). Ces propositions fondamentales 
doivent apparaître comme de pures relations logiques entre les concepts 
primitifs, et cela indépendamment de la signification que l’on donne 
à ces concepts primitifs. 
Quoique le choix des postulats dont il a fait usage ait été dicté 
à M. Pasch par des vues psychologiques, il réalise très exactement 
les deux conditions que l’on vient d’énoncer: en fait, il place en 
tièrement le fondement du développement logique de la géométrie 
dans les postulats. 
Ce concept de la rigueur a depuis pénétré de plus en plus dans 
le domaine des recherches géométriques, principalement sous l’influence 
de G. Peano 25 ), de G. Veronese 26 27 ) et de D. Hilbert 21 ). Déjà même 
quelques traités élémentaires de géométrie à l’usage des écoles pri 
maires ou secondaires l’ont adopté, surtout en Italie 28 ). 
„Une collection de mémoires, publiés par F. Enriques 29 ), renferme 
une suite de critiques approfondies ayant trait au même objet; elle 
n’a pas été sans exercer, elle aussi, quelque influence sur l’étude ri 
goureuse des principes de la géométrie.* 
Au point de vue logique abstrait, les postulats apparaissent comme 
des propositions logiques arbitraires; et l’ensemble des relations lo 
giques qu’ils énoncent constitue une définition implicite des concepts 
primitifs. 
Comme l’a remarqué G. Vacca 30 ) cette sorte de définition se 
trouve déjà dans J. D. Gergonne 31 ). 
25) 1 principii di geometria logicamente esposti, Turin 1889. 
26) Fondamenti di geometria, Padoue 1891; trad. allemande par A. Schepp, 
Grundzüge der Geometrie, Leipzig 1894. 
27) Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899; (2 e éd.) Leipzig 1903; (3 e éd.) 
Leipzig 1909. Voir aussi F. Enriques, Lezioni di geometria proiettiva, Bologne 
1898; (2° éd.) Bologne 1904; (3 e éd.) Bologne 1909. 
28) G. Veronese et P. Gazzaniga, Elementi di geometria, Vérone et Padoue 
1897; (2 e éd.) Vérone et Padoue 1900; (3 e éd.) Vérone et Padoue 1908; G.Ingrami, 
Elementi di geometria, Bologne 1899; F. Enriques et U. Amaldi, Elementi di 
geometria, Bologne 1903; (2 e éd.) Bologne 1905; (3 e éd.) Bologne 1909. 
29) „Questioni riguardanti la geometria elementare, Bologne 1900; éd. alle 
mande publiée sous le titre; Fragen der Elementargeometrie 1, trad. par H. Thieme, 
Leipzig 1910; 2, trad. par H. Fleischer, Leipzig 1907.* 
30) Revue math. [Rivista mat.] 6 (1899), p. 195. 
31) Ann. math, pures appl. 9 (1818/9), p. 1/35. Voir en particulier p. 22/3: