III 2. LES NOTIONS DE LIGNE ET DE SURFACE. 
Exposé, d’après l’article allemand de H. vom MANGOLDT (danzig), 
par L. ZOKETTI (caen). 
1. Nécessité d’une explication précise. Dans les traités de 
géométrie ou d’analyse, aussi bien d’ailleurs que dans les dictionnaires, 
généraux ou mathématiques, on ne donne en général que peu ou pas 
du tout d’explications au sujet de la notion de ligne. Les traités de 
géométrie se bornent à une définition qui varie suivant les auteurs. 
Les uns font revivre les vieilles définitions d’jEuclide, longueur sans 
épaisseur ou limite d'une surface x ). D’autres définissent la ligne comme 
'intersection de deux surfaces 1 2 ) ou encore comme trajectoire 3 ) d'un point 4 ). 
Certains même font de la ligne une notion fondamentale et ne cherchent 
pas à la définir 5 ). 
^Dans les traités de géométrie analytique, aucune définition n’est 
donnée en général. On démontre les théorèmes sur la représentation 
1) Euclide, Éléments, livre 1, déf. 2 et 6. Cf. III1, 7, (p. 13). 
2) Hadamard [Leçons de géométrie élémentaire (l re éd.) 1, Paris 1898, 
p. 1; (2 e éd.) 1, Paris 1906, p. 1] se place à ce point de vue. C’est aussi la 
définition adoptée par C. Guichard, Traité de géométrie, (2° éd.) 1, Paris 1903, p. 1.* 
3) Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii, éd. 
G. Friedlein, Leipzig 1873, p. 97; Pappus, Evvccycoyri (ladrpazL-nrj, livre 7 (au 
commencement d’une analyse de l’ouvrage perdu d’Apollonius, Tonav ¿mnédonv 
âvo)-, Pappi Alexandrini Collectio, éd. E. Hultsch 2, Berlin 1877, p. 662. 
4) + On ignore à qui est due en réalité cette définition. Pappus 3 ) semble 
l’attribuer à Apollonius, mais on pourrait la faire remonter à Aristote [cf. 
T. L. Heath, The tbirteen books of Euclid’s Eléments 1, Cambridge 1908, p. 159] ; 
la définition est indiquée dans les soi-disant „Definitiones“ attribuées à Héron 
[cf. Bull. bibi, storia sc. mat. 4 (1871), p. 94] où sont mentionnées [id. p. 95] 
d’autres définitions concernant la notion de ligne (Note de G. Enestrôm).* 
5) C’est l’opinion de {Jean Le Pond) d’Alembert, Encyclopédie ou Dic 
tionnaire raisonné 7, Paris 1757, p. 635; Encyclopédie méthodique, math. 2, 
Paris et Liège 1785, p. 136 (article Géométrie). On retrouve jusqu’à un certain 
point cette conception dans E. Enriques, Lezioni di geometria desrittiva, Bologne 
1902, p. 167.