164 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
Une ligne analytique est l’ensemble des points dont les coordonnées 
sont fonctions analytiques d’un paramètre. 
*Ou voit que la définition de la ligne perd désormais tout caractère 
géométrique, La géométrie n’intervient plus ici que pour prêter à 
l’analyse un langage commode 41 ).* 
La définition de K. Weierstrass est la plus étroite de toutes celles 
que nous examinerons. 
Si on se borne à considérer des points réels, c’est-à-dire à coor 
données réelles, on obtient la notion plus restreinte de ligne ana 
lytique réelle. 
C’est par sa définition de la ligne analytique que K. Weierstrass a 
donné une réponse à la question, qui s’était posée déjà au 18 ième siècle, 
de déterminer les conditions sous lesquelles on peut considérer une ligne 
comme un ensemble soumis dans toutes ses parties à une même loi. 
Une ligne analytique dont tous les points sont dans un plan 
(réel ou complexe) s’appelle plane; dans le cas contraire, elle est dite 
gauche ou à double courbure (gewunden; doppelt gekrümmt), 
5. Arcs d’une ligne analytique 42 ). Soit un point P de coor 
données Xq, y 0 dans le plan, de coordonnées x 0 , y 0 , dans l’espace; 
supposons que F appartienne à une ligne analytique. Il est en général 
le centre d’un „élément“ 43 ) de la ligne au moins. Mais il peut très 
bien arriver qu’il y ait plusieurs éléments ayant leur centre au même 
point. Il peut même y en avoir une infinité 44 ). Il peut même arriver 
41) *Si l’on définit la distance de deux points (x l , yé) et (x s , y 2 ) par l’ex 
pression . 
V&i — ®*)* + (ÿi — yé> 
la définition de G. Cantor devient, elle aussi, susceptible d’être introduite en 
Analyse. Elle n’est donc pas, à ce point de vue, en état d’infériorité sur celles 
que nous allons examiner.* 
42) Voir A. Brill et M. Noether, Jahresb. deutsch. Math.-Ver. 3 (1892/3), 
éd. Berlin 1894, p. 379 et suiv. 
43) *ün élément de la ligne plane [ou gauche] est un ensemble de deux 
[trois] séries entières en i —t 0 , à rayons de convergence non nuis ; le point t 0 
est le centre de l’élément. On n’écarte pas le cas de deux [trois] séries renfer 
mant des puissances négatives de t: le point t = 0 est alors le centre de l’élément.* 
44) Exemple: Supposons le nombre a réel et irrationnel et considérons les 
équations 
x = cos (at -f-1) — cos t, 
y — sin (at t) — sin t, 
t étant une variable complexe. 
Ces équations représentent une ligne analytique qui passe une infinité de 
fois par l’origine; à savoir pour 
t = 0, 4; 
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