5. Arcs d’une ligne analytique. 
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que le point P soit également point-limite 45 ), ou encore que tous les 
points de la ligne voisins du point P ne puissent être obtenus au 
moyen d’éléments de centre P 46 ). 
L’ensemble des points d’une ligne analytique dont les coordonnées 
sont voisines d’un système de valeurs données peut donc présenter des 
circonstances très diverses. Afin de concevoir plus facilement ces 
différents cas, et en même temps d’étudier plus commodément la façon 
dont se comporte la courbe à l’infini, ou considère souvent une ligne 
analytique comme formée par la réunion de plusieurs arcs 47 ), c’est-à-dire 
de portions d’un seul tenant dont on trouvera les extrémités par la règle 
suivante: quand un point P 0 est en même temps centre de plusieurs 
la dérivée ( ^~ prend à chaque fois des valeurs différentes; il existe une in- 
dx 
finité d’éléments de la ligne, tous différents, ayant pour centre le point (0,0). 
46) Supposons la variable complexe x d’abord inférieure à 1 en valeur ab 
solue et posons 
1 |/1 — ar 
log e (1 + l/l — »•) 2 log e 2 
Prenons pour x = 0 la détermination -f- 1 de la racine carrée et la valeur réelle 
du logarithme (log e 2 désigne aussi le logarithme népérien réel de 2). Alors la 
fonction y est analytique et prend pour x = 0 la valeur 
Faisons décrire 
2 loge 2 
à la variable x un chemin tournant une fois autour d’un des points x — + 1 et 
revenant au point a? = 0; la racine carrée revient avec la valeur — 1; y a donc 
la même valeur limite —; Mais le point îc = 0, « = —=- -■ forme main- 
2 loge 2 2 iog e 2 
tenant un point limite de la forme analytique définie par l’élément de fonction 
du début. 
46) Deuxième exemple [Voir F. Klein, Anwendung der Differentialrechnung 
auf Geometrie 26 ), (nouv. éd.) p. 239; et A. Schoenflies, Math. Ann. 58 (1904), p. 216]: 
Un point quelconque d’une épicycloïde est centre d’un seul élément de la courbe 
ou de deux au plus. Cependant quand le rapport des rayons du cercle fixe et du 
cercle générateur est irrationnel et que par conséquent les différents arcs de la 
courbe forment un ensemble dense dans une couronne circulaire, il existe dans 
le voisinage de tout point de la courbe une infinité de points qui ne dérivent 
nullement du ou des éléments ayant leur centre au point donné. 
47) Quand on se borne à la considération d’une ligne réelle analytique, le 
même mot est employé avec une acception un peu différente; il sert à désigner 
une partie de la ligne qu’on peut engendrer par le mouvement continu d’un 
point et cela de façon qu’aucune portion n’en soit plusieurs fois décrite [voir 
Encyclopaedia Brittanica (9° éd.) 6, Edimbourg 1878, p. 716 (article „curve“)]. 
Si l’on adopte ce sens, un arc peut se couper lui-même. Cela ne se produit 
pas avec la définition du texte. On désigne aussi souvent par le même nom une 
portion d’une courbe analytique réelle plane le long de laquelle une des coor 
données est fonction univoque de l’autre.