7. Représentation par des équations.
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On peut présenter dans le cas de trois dimensions des consi
dérations analogues. Soit un élément de ligne analytique de centre
xo, y 0 , z 0 . On pourra de plusieurs manières le représenter par deux
équations
ffa V>*) = °> 9(?,y,z0 = 0,
f(x, y, z), g(x, y, z) désignant des fonctions analytiques au voisinage
du point x 0 , y 0 , z 0 .
Si on donne inversement deux fonctions f{x, y, z), g(x, y, z) analy
tiques au voisinage d’un point P 0 de coordonnées {x 0) y 0 , z 0 ) } s’annulant
en ce point (sans être identiquement nulles), et si l’on suppose que l’un
des déterminants du tableau
df
K
K
d x
dy
ëz
dg_
ëg_
dg_
dx
dy
ëz
ne s’annule pas au point P 0 , l’ensemble des solutions des équations
f{x, y, z) = 0, g{x, y, z) = 0,
situées dans un entourage suffisamment petit du point F 0 , constitue
un arc de ligne analytique.
Supposons au contraire que les trois déterminants du tableau
soient nuis au point P 0 ; il y a deux cas à distinguer suivant que
les fonctions f et g ont ou non un diviseur commun analytique au
point P 0 et s’y annulant. Si on ne suppose pas l’existence d’un tel
diviseur, l’ensemble des solutions du système
f{x, V, *) = 0, g{x, y, z) = 0
se compose d’un nombre fini d’arcs de ligne pouvant appartenir soit à
la même ligne analytique, soit à des lignes analytiques différentes. Si
au contraire les fonctions f(x, y, z), g(x, y, z) ont un diviseur commun
jouissant des propriétés indiquées, le même ensemble de solutions
comprend à la fois un ou plusieurs arcs et une portion de surface:
où g{x, y) désigne une fonction entière, représente les lignes
g{x,ÿ) = nn {n = 0, +1, +2, ,..).
Yoici un exemple du troisième cas. Considérons une fonction analytique
d’une variable complexe <p(x) qui admette une coupure fermée, par exemple le
cercle de rayon un ayant pour centre l’origine. L’équation
cp(y)=(p (x)
représente un ensemble comprenant la portion de la droite
x = y
qui satisfait à la restriction | x \ 1; mais elle ne représente pas la droite entière.
