170 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
Il peut arriver que la ligne ou les lignes n’existent pas, tandis que 
la portion de surface existe toujours 54 ). 
On peut ensuite, en ne se bornant plus au voisinage du point 
donné, se proposer une représentation générale. Soit une ligne l 
dans un domaine à trois dimensions; il est bien souvent possible de 
déterminer deux fonctions analytiques univoques f{x, y, z), g(x, y, z) 
telles qu’il y ait concordance complète entre l’ensemble des points de 
la ligne d’une part, et l’ensemble des solutions des équations 
f{x, y, e) = 0, g{x, y, z) = 0 
d’autre part. On aura ainsi réalisé une représentation analytique totale 
de la ligne. 
Ici encore, ou ne peut, sans étudier davantage la question, énoncer 
une réciproque. 
*Les exceptions prévues dans le cas du plan peuvent encore se 
présenter.* 
Bien plus, même dans le cas où les deux fonctions 
f(x, y, z), g{x, y, z) 
sont deux fonctions entières irréductibles distinctes, il peut très bien 
arriver que l’intersection des surfaces 55 ) 
f{x, y, z) = 0, g O, y, z) — 0 
se décompose en plusieurs lignes analytiques distinctes 56 ). 
On a proposé et étudié des notions plus générales que celle de 
ligne analytique. Ces généralisations peuvent s’obtenir dans un certain 
nombre de directions différentes. 
On peut d’abord définir une ligne analytique dans un espace à 
n dimensions, comme une variété de première espèce dans un domaine 
à n variables. 
54) C'est dans les travaux de K. Weierstrass que se trouvent les démonstrations 
de tous ces résultats. [Voir K. Weierstrass, Funktionenlehre 12 ), p. 105; Werke 2, 
p. 135]. Voir aussi II1, 3. 
La question plus générale de la constitution d’un ensemble de points, ap 
partenant à un domaine donné à un nombre quelconque de dimensions, qui 
annulent un nombre fini quelconque de fonctions analytiques données dans ce 
domaine a été étudiée par O. Blumenthal, Math. Ann. 57 (1903), p. 356. 
55) *11 n’y a qu’à citer l’intersection d’une quadrique par un plan tangent, 
ou de deux quadriques bitangentes.* 
56) Tout ce qui est relatif à l’étude des propriétés générales des lignes et 
des surfaces analytiques (notions de tangente, de longueur d’arc, de plan oscu- 
lateur, de courbure, . . ,) sera exposé dans les articles consacrés à la géométrie 
infinitésimale [III volumes 5 et 6].