174 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. -Zoretti. 
Considérons le continuum formé: 
1°) des points de P (sauf les quatre sommets), 
2°) des points appartenant à l’un quelconque des quatre domaines 
obtenus en transformant le domaine P 
par inversion, successivement par rap 
port aux quatre cercles, 
3°) des points de tous les domaines 
obtenus en faisant sur le domaine ainsi 
agrandi la même opération, successive 
ment par rapport à tous ses côtés et 
ainsi de suite. 
Construisons également un second 
continuum de la même manière en par 
tant de P'. Les deux continua obtenus 
admettent pour frontière commune une 
ligne non analytique. On peut démontrer 
que cette ligne limite est l’image réci 
proquement continue, uniforme d’un seg 
ment de droite 72 ). 
^Nous avons étudié plus haut les 
relations de la définition précédente avec 
la définition de Gr. Cantor. Nous les résumerons ici en introduisant la 
terminologie de A. Schoenflies. Un ensemble parfait borné d’un seul 
tenant qui forme la frontière commune de deux continua s’appelle 
une courbe fermée proprement dite (eine (eigentlicbe) geschlossene Kurve); 
si tous ses points sont accessibles des deux côtés, il s’appelle courbe 
simple fermée (einfache geschlossene Kurve). Les travaux de A. Schoen 
flies et L. Zoretti apparaissent comme une étude de la réciproque du 
théorème de Jordan, ou comme la recherche de l’équivalence de la 
notion de ligne simple (sans point double) de Jordan et de ligne can- 
torienne. Tous deux aboutissent à une condition nécessaire et suffisante.* 
+ Ajoutons encore qu’on peut découvrir à ces travaux le but de 
définir l’équivalent le plus général de la droite ou du cercle au point 
de vue de l’Analysis situs.* 
9. Autres généralisations. + Nous avons déjà dit qu’entre la 
notion de ligne analytique et celle de ligne de Jordan, il y avait place 
pour d’autres notions d’après le nombre plus ou moins grand des 
restrictions que l’on fait.* 
72) B. Fricke et F. Klein, Automorphe Funktionen 70 ) 1, p. 420; F. Klein, 
Anwendung der Differentialrechnung auf Geometrie* 6 ), nouv. ed. p. 316.