9. Autres généralisations. 
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Une ligne analytique suppose l’existence d’une infinité de dérivées 
des coordonnées; la ligne de Jordan ne suppose rien sur l’existence 
de ces dérivées. On pourra donc introduire des hypothèses de diverses 
natures comme les suivantes: 
a) supposer la courbe rectifiable™)] 
b) supposer l’existence d’une tangente en chaque point; 
c) supposer que cette tangente se déplace d’une façon continue 
en même temps que son point de contact; 
d) supposer que la ligne a une courbure; 
e) on pourra supposer aussi que la courbe est soumise à d’autres 
conditions, par exemple qu’elle n’a qu’un nombre fini de points sin 
guliers (points saillants ou anguleux, etc. . . .); 
f) on pourra supposer que la courbe rencontre en un nombre 
fini (qui, la droite variant, peut être borné ou non borné) ou en une 
infinité dénombrable de points une droite ou un cercle quelconques; 
g) ou faire d’autres hypothèses encore. 
Mais il convient de remarquer que, si variées que soient ces 
hypothèses, aucune d’elles ne s’impose à nous d’une façon tellement 
indispensable qu’elle puisse être seule acceptée par chacun 74 ). 
Aussi ne doit-on pas s’étonner de la diversité des terminologies. 
Ainsi par exemple W. F. Osgood 75 ) appelle arc de courbe régulier 
un arc pourvu d’une tangente en chaque point variant d’une manière 
continue, pendant qu’au contraire F. Klein™) exige l’hypothèse que l’arc 
de courbe soit représentable par deux équations x = f(t), y — g{t), 
où les fonctions f et g soient d’oscillation bornée et dérivables un 
nombre fini de fois. A. Kneser 77 ) envisage la question de la façon 
suivante: il désigne sous le nom de arc plan sans singularités (,,nir- 
gends singularer ebener Bogen“) un ensemble de points continu au 
73) *Voir G. Jordan, Cours ¿’Analyse (3 e éd.) 1, Paris 1909, p. 99; H.Lébesgue, 
Ann. mat. para appl. (3) 7 (1902), p. 282.* 
74) C’est ce qu’exprime E. Study [Math. Ann. 47 (1896), p. 315] quand il 
dit que nous ne possédons actuellement aucune définition complètement acceptable 
de la notion de courbe. Il fait remarquer la différence des points de vue en 
géométrie analytique, où on s’occupe tout aussi bien des points ou courbes ima 
ginaires que des points ou courbes réels, et dans l’étude des chemins d’intégration 
sur une surface de Eiemann, ou des problèmes d’intégration avec des valeurs 
données sur une courbe. Malgré les progrès réalisés, cette observation conserve 
toute sa valeur à l’époque actuelle. 
75) Trans. Amer. math. Soc. 1 (1900), p. 310. Voir l’article II 8. 
76) Anwendung der Differentialrechnung auf Geometrie 28 ), nouv. éd. p. 255. 
77) Math Ann. 34 (1889), p. 205. 
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