180 H. von Mangoldt. III 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
les coordonnées (x, y, z) satisfont à une équation 
F{x, y, z) = 0, 
F(x, y, z) désignant une fonction des trois variables x, y, z qui est 
analytique au voisinage du point P 0 et est assujettie à s’annuler en 
P 0 ; de plus la fonction F est supposée irréductible. Si les dérivées 
partielles du premier ordre de la fonction F ne s’annulent pas simul 
tanément au point (# 0 , y 0 , z 0 ), l’élément de surface s’appelle ordinaire 
ou régulier; sinon il est dit singulier. 
c. Il est également possible, et d’une infinité de manières, de repré 
senter un élément ordinaire d’une surface analytique par trois équations 
(1) x = f(u,v), y = g{u, v), z = h(u, v), 
ofi u, v désignent des paramètres qui peuvent prendre des valeurs 
quelconques au voisinage du point (u = 0, v = 0); f, g, h désignent 
des fonctions analytiques telles que l’un au moins des déterminants 
du tableau 
df 
ëh 
ë u 
ëu 
ëu 
K 
ëh 
ëv 
ëv 
ëv 
ne s’annule pas au point {u — 0, v — 0). 
Si le voisinage du point (u = 0, v = 0) est choisi suffisamment 
étroit, la correspondance entre les points (u, v) de cet entourage 
d’une part et les points correspondants de la surface d’autre part est 
réciproquement univoque: c’est ce que l’on entend par représentation 
paramétrique propre d’un élément de surface 87 ). 
87) Pour la surface d’une sphère de centre a, b, c et de rayon r on doit 
signaler la représentation par les coordonnées polaires ou sphériques liées aux 
coordonnées cartésiennes par les formules 
x = a -f- r sin u cos v, 
y — b r sin u sin v, 
z = c-f- r cos u. 
Cette représentation est signalée par J. L. Lagrange [Nouv. Mém. Acad. Berlin 
4 (1773), éd. 1775, p. 127; Œuvres 3, Paris 1869, p. 626] comme „une des trans 
formations les plus utiles et les plus ordinaires“. On peut représenter de même 
la surface d’un ellipsoïde de demi-axes a, b, c par les formules 
x — a cos u, 
y = b sin u cosv, 
z = c sin u sin v. 
[J. Ivory, Philos. Trans. London 99 (1809), p. 350; C. F. Gauss, Commentât. Soc. 
Gott. recent. 2 (1811/3), éd. 1813, math. 1812, mém. n° 3, p. 17; Werke 5, Gottingue 
1877, p. 16], Ce n’est cependant que depuis C. F. Gauss qu’on s’est servi d’une