11. La notion de surface. 
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De même, comme l’a montré G. W. M. JBlacIi 88 ), on peut repré 
senter un élément singulier de surface analytique par un nombre fini 
de systèmes d’équations de la forme (1) dont chacun a la propriété 
que l’un au moins des déterminants du tableau (2) ne soit pas nul identi 
quement dans l’élément, tout en pouvant s’annuler au centre de l’élément. 
Donnons-nous inversement trois équations de la forme (1) quel 
conques, mais telles que l’un au moins des déterminants du tableau (2) 
ne s’annule pas au point (0,0); ces équations représentent alors com 
plètement un élément ordinaire de surface analytique. Si au contraire 
les trois déterminants sont nuis en ce point sans être identiquement 
nuis, différents cas sont possibles, en particulier, les suivants: 
1) Les équations représentent complètement un élément de sur 
face, mais de telle sorte que à un point (x, y, z) de cet élément ré 
pondent en général plusieurs systèmes de valeurs (u, v) voisins de 
zéro: c’est ce qu’on entend par représentation paramétrique impropre 
[voir n° 6]. 
2) Les équations représentent seulement une portion d’élément 
de surface analytique (c’est d’ailleurs un élément singulier). 
Dans un grand nombre de cas, il est possible de représenter toute 
une surface comme l’ensemble de tous les points (x, y, z) qui font prendre 
la valeur zéro à une fonction f(x, y, z) analytique et uniforme de ces 
variables. On réalise alors la représentation complète de la surface. 
Mais, comme c’était le cas pour la ligne [voir n° 6] et pour les mêmes 
raisons, on ne peut énoncer de réciproque sans restrictions. 
Pour mieux concevoir les rapports de forme, on imagine souvent 
une surface analytique comme décomposée en un certain nombre, fini ou 
non, de feuillets. Ce sont des portions d’un seul tenant dont les 
limites sont déterminées par la règle suivante: quand un point P 0 
est en même temps le centre de plusieurs éléments de la surface, 
les points voisins de P 0 qui appartiennent au même élément seront 
dits appartenir à un même feuillet, tandis que des points appartenant 
à des éléments différents seront dits appartenir à des feuillets différents. 
A cela près, les limites d’un feuillet peuvent être laissées indéterminées. 
Quand on considère des surfaces réelles qui se composent de 
plusieurs portions d’un seul tenant tout à fait séparées, ou encore 
n’ayant en commun que des points isolés, le même mot de feuillet 
façon courante de la représentation paramétrique [voir dans le tome III les articles 
de géométrie infinitésimale]. 
88) Thèse, Cambridge U. S. A. 1901; Proc. Amer. Acad, arts sc. 37 (1901/2), 
p. 281; voir aussi E. Geck, Diss. Tubingue 1900; Matb.-naturw. Mitt. "Wurttemb. 
(2) 6 (1904), p. 65.