182 S. von Mangoldt. 111 2. Les notions de ligne et de surface. L. Zoretti. 
sert souvent à désigner l’une de ces portions. La différence avec la 
notion précédente consiste en ce qu’une de ces portions pent se couper 
elle-même sans cesser de former un seul feuillet. 
En étroite parenté avec la notion de surface se trouve la notion 
de membrane infiniment mince, susceptible de changer de forme de 
certaines manières. On peut faire d’ailleurs des hypothèses assez di 
verses sur la déformation d’une telle membrane. On peut par exemple 
avec G. F. Gauss 89 ) supposer qu’elle ne soit ni extensible ni pliable 
et envisager, en s’en reportant au témoignage des sens par exemple, 
les changements de forme dès lors possibles ainsi que les propriétés 
qui se conservent dans ce changement; on peut supposer aussi que 
la surface soit susceptible d'extensions de différentes sortes, par exemple 
de celles qui conservent les angles de la forme primitive, ou de celles 
pour lesquelles un faisceau donné d’avance de ligues géodésiques reste 
constamment formé de lignes géodésiques. On peut également ad 
mettre des duplicatures 90 ). 
12. Rech.erclies contemporaines sur la notion de surface. ^On 
voit d’après ce qui précède que le point de vue analytique de K. Weier- 
strass pour la définition d’une courbe est susceptible de généralisation 
dans le cas de trois dimensions pour la définition d’une surface. On 
s’est assez peu préoccupé jusqu’ici de points de vue analogues à ceux 
de C. Jordan et de G. Cantor. Je me bornerai à indiquer ici les quelques 
endroits où il est fait allusion à ce sujet.* 
+ Dans son Cours d’analyse, C. Jordan 91 ), qui parle très longuement 
de la notion de ligne, se borne pour les surfaces à donner la défini 
tion suivante: 
Soient (u, v) un point du plan, (x, y, z) un point de l’espace et 
supposons qu’on ait 
cc = 9>i( M , v), y = cp 2 (u, v), z = cp s (u, v) , 
les fonctions (f x , cp 2 , (jp 3 ayant des dérivées du premier ordre continues, 
telles que les trois jacobiens du tableau 
dqpi 
dcp 2 
dcp 3 
du 
du 
du 
d<Pi 
dcp 2 
dqPjL 
dv 
dv 
dv 
89) Commentât. Soc. Gott, recent. 6 (1823/7), éd. Göttingue 1828, math. p. 121, 
mém. n° 4 (§ 13) [1827]; Werke 4, Göttingue 1880, p. 237. 
90) On pourra consulter au sujet des ces questions S. Finsterwalder, Jahresb. 
deutsch. Math.-Yer. 6 2 (1897), éd. Leipzig 1899, p. 45. 
91) Cours d’Analyse, (2 e éd.) 1, Paris 1893, p. 146; (3 e éd.) 1, Paris 1909, 
p. 147.