2. Notions fondamentales de la géométrie analytique. 
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ces coordonnées étant toujours des grandeurs géométriques déterminées, 
liées à l’élément considéré. Un caractère essentiel de tout système de 
coordonnées est que les coordonnées doivent déterminer d'une façon unique 
la figure considérée, et inversement, de telle sorte que, quand on fait 
varier d’une façon continue les coordonnées, la figure correspondante varie 
aussi avec continuité et inversement. 
„L’exemple des coordonnées pentaspliériques introduites par 
G. Darboux montre cependant que le principe peut être en défaut pour 
certaines figures exceptionnelles ou certains systèmes exceptionnels 
de coordonnées (plan et cercle de l’infini).* 
En général, toute figure peut être déterminée par un certain 
nombre Je de coordonnées indépendantes. Mais il peut parfois être 
utile d’employer le + 1 coordonnées homogènes ou même d’augmenter 
encore le nombre de coordonnées, qui dès lors ne sont plus indépen 
dantes, mais doivent vérifier identiquement un nombre correspondant 
d’équations de condition. C’est le cas, par exemple, des coordonnées 
introduites par J. Plücker pour la représentation des lignes droites dans 
l’espace [III 27], des coordonnées pentaédriques pour la représentation 
des surfaces du troisième ordre [III 24] 3 ). 
Lorsqu’on a introduit, dans un ensemble de figures, un certain 
système de coordonnées, on peut y définir des ensembles plus petits 
en soumettant les Je coordonnées d’une figure à une ou plusieurs 
équations entre le variables. On dit alors que le groupe considéré 
est représenté par cette équation ou ce système d’équations. 
Inversement, toute équation et tout système d’équations compa 
tibles sont susceptibles d’interprétations géométriques diverses, corres 
pondant aux diverses interprétations que l’on peut donner aux vari 
ables considérées comme des coordonnées. 
Ceci nous permet d’étendre d’une façon remarquable la notion de 
coordonnées. Si Fon introduit dans l’équation d’une figure (écrite 
par exemple en coordonnées ponctuelles) un nombre quelconque (fini) 
de paramètres, si l’on considère ensuite la totalité des figures dont les 
équations correspondent à tous les systèmes de valeurs possibles de 
ces paramètres, si enfin l’équation donnée remplit la condition que 
chaque figure du groupe corresponde 4 ) à un système unique de va- 
3) C’est à ce point de vue que se place principalement P. Serret [Géométrie 
de direction, application des coordonnées polyédriques, Paris 1869] qui a montré 
l’usage qu’on peut faire de ces „coordonnées polyédriques“. 
4) Même dans le cas d’un nombre discontinu de systèmes de valeurs, on 
peut, par des conditions appropriées, établir la correspondance univoque et réci 
proque entre les valeurs des paramètres et les figures