190 G. Fano. Ill 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
équations ou des valeurs des coordonnées qui représentent les figures 
cherchées; c’est dans ce problème purement analytique que consiste 
le secours apporté par l’analyse à la géométrie. 
3°) L’interprétation géométrique des résultats acquis analytiquement. 
Le passage exigé par les phases (I o ) et (3°) d’une relation géo 
métrique à sa représentation analytique et inversement se fait souvent 
d’une façon immédiate presque inconsciente. Au contraire, les trans 
formations comprises dans la phase (2°) reposent sur une série d’opé 
rations analytiques générales qui se présentent constamment (par exemple: 
équations de la ligne droite et du plan déterminés par deux ou trois 
points donnés, intersection de droites et de plans, équations de tan 
gentes et de plans tangents à des courbes ou des surfaces données, 
formation de systèmes linéaires d’équations, . . .) et qui constituent 
l’essence de la géométrie analytique. 
Malgré leur opposition apparente, on peut reconnaître à beaucoup 
d’égards dans les deux géométries le même fil conducteur. Que l’on 
traite une question quelconque d’une façon ou d’une autre, la suite 
des idées reste en général la même; il n’y a de changée que la façon 
de s’exprimer, que la ,,langue“. En fait, toute considération synthé 
tique peut être „traduite analytiquement“; et d’une série d’opérations 
synthétiques partant d’une certaine figure (A) pour aboutir à une 
autre (B) découle, par traduction, une opération analytique qui 
permet de déduire des équations de la figure A les équations de B, 
ce qui constitue la seconde phase de la méthode analytique. In 
versement, tout calcul peut en général être interprété géométriquement, 
et cela de façons très différentes suivant la signification, comme 
coordonnées, que l’on donne aux variables; en sorte qu’une même 
série d’opérations analytiques peut servir à traiter différentes questions 
géométriques (dans un certain sens équivalentes). 
Grâce à ces interprétations géométriques, bien des considérations 
analytiques peuvent être éclaircies, en sorte que la géométrie vient à 
son tour au secours de l’analyse. C’est ce qui arrive, par exemple, 
dans la théorie des équations différentielles mentionnée au n° 2 [cf. 
n° 5 et le chapitre consacré à un aperçu sur les recherches de géo 
métrie différentielle]. De même aussi, la notion de dérivée d’une 
fonction réelle y = f(x) [II 1, 10] devient claire dès que l’on considère 
la tangente à la courbe y = f{x). 
4. Plan de l’exposé suivant. Ce fut un des mérites de la 
méthode analytique d’avoir rendu accessibles à la géométrie la con 
ception et la résolution des problèmes dans toute leur généralité, ce