6. La situation à l’époque de Monge. 
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qui apparaissait autrefois comme un avantage particulier de l’analyse. 
Mais la géométrie synthétique a atteint elle aussi au 19 lème siècle, dans 
le domaine algébrique, par de nouvelles méthodes, à une généralité 
aussi complète. 
Sans pousser notre parallèle jusqu’aux recherches les plus récentes 
de la théorie des ensembles [I 7 ; Il 2 ; III 2, 8, 9] nous nous pro 
posons dans l’exposé suivant de montrer comment les deux méthodes se 
sont développées et pénétrées au cours du 19 ième siècle, et comment dans 
les résultats acquis par les recherches fondamentales on peut souvent 
faire la part de l’une et de l’autre méthode. 
5. La situation à l’époque de Monge. L’introduction en géo 
métrie de la notion de coordonnées, et peu après (à la fin du 17 lème 
siècle), l’invention du calcul infinitésimal [II 3] par 1. Newton et 
G. W. Leibniz, ouvrirent aux mathématiques un vaste champ d’action. 
Des problèmes anciens, qui paraissaient inaccessibles à la géométrie 
synthétique, se traitaient par les nouvelles méthodes avec une facilité 
surprenante; un exemple frappant nous en est fourni par la théorie 
des relations infinitésimales des courbes et des surfaces 10 11 ), théorie 
dont, surtout, A. G. Clairaut u ) et L. Euler 12 ) posèrent les fondements. 
+ Mais 13 ) à la fin du 18 ième siècle, ce programme commençait à 
paraître épuisé. Au contraire, des méthodes précises de recherches 
préparaient aux sciences expérimentales le développement considérable 
qu’elles ont eu depuis. J. L. Lagrange lui-même se tournait vers 
la chimie et dans leurs recherches mathématiques, A. M. Ampère, 
S. D. Poisson, A. L. Cauchy avaient en vue surtout une application 
des méthodes analytiques à la mécanique et à la physique molé 
culaire. 
„La géométrie moderne, c’est un titre que nous devons revendiquer 
pour elle, est venue dès la fin du 18 ième siècle contribuer dans 
une large mesure au renouvellement de la science mathématique tout 
entière en offrant aux recherches une voie nouvelle et féconde. 
„L. N. M. Carnot par l’„Essai sur les transversales“ et la „Géométrie de 
position“, G. Monge surtout par la création de la géométrie descriptive 
10) Voir à ce sujet les articles consacrés à la géométrie infinitésimale. 
11) Recherches sur les courbes à double courbure, Paris 1731. 
12) Introductio in analysin infinitorum 2, Lausanne 1748; trad. J. B. Ldbey, 
Introduction à l’analyse infinitésimale 2, Paris an Y ; Recherches sur la courbure 
des surfaces [Hist. Acad. Berlin 16 (1760), éd. 1767, p. 119/43]. 
13) G. Darboux, Étude sur le développement des méthodes géométriques: 
conférence faite au Congrès de S* Louis en 1904, éd. Paris 1904, p. 6; Bull. sc. 
math. (2) 28 (1904), p. 234/63.