8. Möbius. 
197 
rester fidèle à Vanalogie entre les idées et la langue 41 ) il parle sans 
plus de corde idéale commune à deux sections coniques et de points 
d’intersection imaginaires et reconnaît dans ces expressions purement 
figurées, mais fondées sur des rapports exacts et rigoureux 42 ) le seul 
moyen par lequel la géométrie synthétique puisse s’élever à une 
généralité aussi complète que l’analyse. Il arrive ainsi à cette remar 
que 43 ) que tous les cercles d’un plan ont idéalement deux points ima 
ginaires communs à Vinfini et que 44 ) deux quelconques de ces cercles 
ont une corde commune réelle ou imaginaire à distance finie, qui va 
elle aussi à l’infini dans le cas de cercles concentriques. De même, 
deux sphères 45 ) et plus généralement deux quadriques homothétiques, 
ont une courbe d’intersection plane réelle ou idéale située à l’infini. 
On voit par là que les notions d’ombilics d’un plan et d’ombilicale 
dans l’espace, d’une importance capitale pour le développement ul 
térieur de la science, se trouvent déjà sous une forme précise chez 
J. V. Poncelet, et sont employées par lui, pour interpréter projecti ve 
rnent des relations métriques. 
8. Möbius. „Les travaux de J. V. Poncelet suscitèrent partout les 
recherches les plus approfondies. On chercha à étudier sous toutes 
leurs faces les principes qu’il avait découverts et à en tiier toutes 
les conséquences. 
Mais il faut, dès maintenant, noter une différence fondamentale 
toujours valable; toutes les fois que la solution analytique d’un problème do 
géométrie se ramène à un problème de ce genre, comme cela se produit à tout 
instant en géométrie algébrique, à cause de l’intervention du théorème fonda 
mental de l’algèbre [I 9, n os 80 à 88] on ne pourra exprimer le résultat, en parti 
culier le nombre de solutions existantes, sans y ajouter un grand nombre de cas 
d’exception, à moins d’interpréter les solutions imaginaires éventuelles au moyen 
d’éléments également „imaginaires“ (assimilés aux réels). 
C’est pourquoi il est utile de regarder, de prime abord, dans les développe 
ments analytiques de ce genre, l’espace ponctuel comme l’ensemble de tous les 
groupes de trois nombres complexes ou non, et de définir tout groupe constitué 
par trois nombres non tous réels, comme représentant un point „imaginaire“ 
ou „complexe“, introduction purement formelle, mais cependant rigoureuse des 
éléments imaginaires, qui est permise en géométrie analytique. 
En géométrie synthétique, il est d’abord nécessaire de faire une extension 
correspondante des notions de point, de droite, etc., comme l’a fait K. G. Chr. von 
Standt [n° 14]. 
41) Propriétés projectives 20 ), (2 e éd.) 1, p. 27. 
42) Id. (2° éd.) 1, p. 35. 
43) Id. (2 e éd.) 1, p. 47/8. 
44) Id. (2 e éd.) 1, p. 44. 
45) Id. (2 e éd ) 1, p. 370.