Dans le cas d’une dimension, les figures correspondantes sont les 
inYolntions (elliptiques et hyperboliques); dans le cas de trois dimen 
sions, ce sont les surfaces du second degré (imaginaires, réelles et 
non réglées, réglées). 
La méthode indiquée permet de construire la géométrie projective 
sans faire intervenir de notions métriques; et grâce à la considération 
du système polaire dans le plan et dans l’espace, la théorie générale 
des figures du second degré prend sa forme la plus simple et la plus 
rationnelle. 
14. Théorie des imaginaires de von Standt. C’est K. G. Chr. von 
Staudt aussi qui a donné dans les „Beitrâge zur Greometrie der Lage“ 
la première solution du problème suivant: „Définir les éléments imagi 
naires par des figures géométriques réellement existantes, et de telle 
façon qu’ils puissent être complètement assimilés aux éléments réels“ 99 ). 
Au § 7, K. G. Chr. von Staudt définit „l’élément imaginaire de pre 
mière espèce (point, droite plan)“ par une involution elliptique (c’est-à- 
dire ne possédant pas d’éléments doubles) sur une forme de rang un 
(ponctuelle, faisceau de rayons, faisceau de plans) en tenant bien compte 
de l’un des deux sens opposés qu’on peut distinguer dans la forme 100 ). 
couples B iî 1 , CC X . On déterminera de même les points de rencontre de la coni 
que et de CA. Mais si les deux involutions ainsi déterminées n’ont pas d’élé 
ments doubles, la conique n’existe pas. Les droites BCB l et Al GB t sont en 
effet conjuguées par rapport à la conique et l’on sait que de deux droites con 
juguées une seulement peut être extérieure à la conique. La conique n’a donc 
aucun point réel. Mais même dans ce cas on peut obtenir par une construction 
linéaire la polaire (réelle) d’un point quelconque du plan, ou le pôle (réel) d’une 
droite quelconque du plan. Cet ensemble de pôles et de polaires définit un système 
polaire qui est ainsi parfaitement déterminé au moyen des deux triangles homo- 
logiques. Si la conique fondamentale correspondante existe, elle est le lieu des 
pôles situés sur leurs polaires, ou l’enveloppe des droites qui contiennent leur 
pôle. On arrive à des conclusions analogues si l’on cherche à construire une 
conique par rapport à laquelle un triangle donné ABC est conjugué et ad 
mettant un point I) pour pôle d’une droite d* 
99) Pour la justification, la représentation, et le calcul géométrique sur 
les nombres imaginaires voir l’article I, 5. 
100) La considération du sens apparaît tout d’abord quelque peu arbitraire. 
Essayons de la justifier d’après des éclaircissements donnés par F. Klein dans 
son cours. On sait que la recherche des points doubles d’une involution ellip 
tique sur une ponctuelle conduit en géométrie analytique à une équation du 
second degré à racines imaginaires conjugués a + bi. Supposons cette involution 
située sur l’axe des x du plan x-\-yi. Les deux points a + bi du plan x + yi 
[15, 3] sont précisément ceux d’où l’on peut projeter l’involution donnée 
par une involution de rayons rectangulaires; il semble donc assez naturel de 
représenter ces deux points a^rhi par l’involution considérée. Mais ces deux