210 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
le rapport anbarraonique des quatre éléments (défini au moyen de 
relations métriques). 
Par l’œuvre de K. G. Chr. von Staudt, la théorie géométrique des 
éléments imaginaires conquit sa forme rigoureuse et définitive. Désormais, 
on peut assimiler à tous égards éléments réels et éléments imaginaires, 
fait d’une importance capitale surtout pour la géométrie algébrique [III 3 
et III 4 ], de même que, dans les développements analytiques, on peut 
regarder les coefficients et les variables comme des nombres quel 
conques (réels ou imaginaires). C’est K. G. Chr. von Staudt qui a 
complété la théorie des correspondances projectives et des sections 
coniques, en tenant compte des imaginaires; il a montré que les ex 
ceptions que la considération exclusive des éléments réels laisse subsister 
disparaissent, et a établi aussi la concordance de ses résultats avec 
ceux de la géométrie analytique [voir aussi n° 15]. 
15. Perfectionnement et développement ultérieur de la théorie 
des imaginaires. Cette œuvre fondamentale fut malheureusement mé 
connue au début, et on ne lui accorda pas toute l’attention qu’elle 
méritait. C’est seulement dans la „Neuere Geometrie“ de H. Pfaff 104 ) 
que fut adoptée, avec des modifications insignifiantes, la définition 
des éléments imaginaires donnée par K. G. Chr. von Staudt. O. Stolz 105 ) 
poursuivit analytiquement les considérations de K. G. Chr. von Staudt, 
et montra qu’on peut représenter les éléments imaginaires par des 
systèmes de nombres complexes tels que les relations entre les premiers 
se trouvent représentées analytiquement par les relations habituelles 
entre les derniers. 
F. August 106 ) introduisit les droites imaginaires de seconde espèce 
comme intersections de plans imaginaires dont les supports réels 
(lignes droites) ne se rencontrent pas, c’est-à-dire de plans qui n’ont 
aucun point réel commun. 
F. Klein 107 108 ) a proposé une modification essentielle à la conception 
K. G. Chr. von Staudt. Deux points imaginaires conjugués peuvent tou 
jours être considérés, sur la droite réelle qui les joint, comme les 
éléments doubles d’une projectivité cyclique d’ordre quelconque n m ), 
et un cycle quelconque de cette projectivité, parcouru dans un sens 
104) Progr. Erlangen 1867, en partie, première partie § 9/10. 
105) Math. Ann. 4 (1871), p. 416. 
106) üntersuchungen über das Imaginare in der Geometrie, Progr. Berlin 1872. 
107) Nachr. Ges. Gôtt 1872, p. 373; reimpr. Math. Ann. 22 (1883), p. 242. 
108) ^Imaginons sur une même droite deux divisions homographiques (a) h). 
A un point de la première correspond un point è, de la seconde. Au point 
h 1 considéré comme appartenant à la première correspondra un point de la