7. Point, ligne et surface. 
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et de mouvementj les différentes formes du concept de continuité et 
enfin la théorie des parallèles. 
Comme complément nous ajouterons quelques développements 
concernant d’une part la théorie des proportions telle que la con 
cevaient les anciens, et d’autre part la mesure des surfaces. 
7. Point, ligne et surface. Dans ses Éléments de géométrie, 
Euclide 38 ) débute ainsi 39 ) 
Urjfistôv èdxiv, ov [ibqos ovd’év; 
Upceup) de [if¡nog artÀccxég; 
’EnLcpavEicc dé sôxlv, d (ifjxos xccl TcXccxog pôvov éyei\ 
ce qui signifie: 
Un point est une chose indivisible. 
Une ligne est une longueur sans largeur. 
Une surface est une chose qui n’a que longueur et largeur. 
Euclide ajoute que les limites de la ligne sont des points et les 
limites de la surface des lignes. Il procède de façon à caractériser 
les droites entre toutes les lignes et les plans entre toutes les sur 
faces comme nous le verrons un peu plus loin. 
En se conformant à ces définitions d'Euclide on peut développer 
les éléments de la géométrie en suivant deux voies bien distinctes: 
I o ) On prend le point comme concept fondamental tiré, par 
abstraction, de l’idée que nous nous faisons d’un corps très petit; on 
cherche ensuite à engendrer les lignes par le mouvement du point, 
les surfaces par le mouvement des lignes, les corps (ou l'espace) par 
le mouvement des surfaces. 
2°) On part du concept du corps comme fondamental et l’on en 
visage les surfaces comme limites des corps, les lignes comme limites 
des surfaces et les points comme limites des lignes. 
Ni l’un ni l’autre de ces deux procédés ne fournit de véritable 
définition logique du point, de la ligne ou de la surface; on n’a, en 
réalité, obtenu que des données et des descriptions ayant une certaine 
importance d’ordre physique ou d’ordre physiologique, et rien de plus. 
En ce qui concerne particulièrement le second de ces deux pro 
cédés, on peut observer que le concept de la limite d’un corps, ou 
38) Elementa, livre 1, défin. 1, 2, 5; Opéra, éd. J. L. Heiherg 1, Leipzig 
1883, p. 2. 
39) *Les deux premières définitions, quoique exprimées en termes différents, 
se trouvent déjà dans Aristote [voir J. L. Heiherg, Abh. Gesch. Math. Leipzig 18 
(1904), p. 8/9] tandis que la dernière semble être due à Euclide lui-même [voir 
J. L. Heiherg, Abh. Gesch. Math. Leipzig 18 (1904), p. 8] (Note de G. Enestrôni).*