16. Extensions ultérieures. 
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tivité (involnzione unita) 117 ). Un couple de droites imaginaires con 
juguées de deuxième espèce est défini par un système involutif gauche 
de l’espace qui ne possède ni points doubles, ni plans doubles; une 
conique imaginaire par un système polaire qui ne possède pas de 
courbe directrice. Les théorèmes de Desargues et de Sturm subsistent 
aussi dans le domaine imaginaire. 
A. Eamorino a donné un exposé d’ensemble des théories géomé 
triques des imaginaires et indiqué une bibliographie plus complète 118 ). 
16. Extensions ultérieures. Configurations hyperalgébriques et 
éléments bicomplexes. Représentons la totalité des oo 2r éléments 
complexes d’une forme fondamentale F de rang r (et aussi d’une variété 
quelconque à r dimensions) par une configuration réelle d> 2r d’un 
nombre de dimensions double. C’est ce que l’on fait, par exemple, 
dans le cas d’une forme de rang un en recourant au plan réel ou à 
la sphère. Nous pouvons alors considérer dans (P 2r des configurations 
quelconques G k composées de oo*(Æ<2r) éléments réels, et chercher 
leurs représentations g k sur la forme F; elles seront composées de 
oo* éléments complexes 119 ). Ces configurations g k seront non seule 
ment des lignes, des surfaces, etc., mais encore nombre d’autres con 
figurations, dont l’exemple le plus simple (pour r = 1, le = 1) est 
donné par les chaînes de K. G. Chr. von Staudt [n° 15] 120 ). C’est là 
un vaste programme, qui fut esquissé et développé jusqu’à un certain 
point par C. Segre 121 ). 
117) + Étant donnée une projectivité quelconque, si l’on prend le conjugué 
harmonique de chaque élément par rapport aux deux éléments qui lui corres 
pondent dans la projectivité donnée et dans son inverse, cet élément lui sera con 
jugué dans une involution bien déterminée: involution unie (involuzione unita). 
En partant de la projectivité 
axy -f- bx -f- cy -f- d = 0 
on arrive à l’involution 
axy + (« + y) + à = 0.* 
118) Gli elementi imaginari nella geometria [Giorn. mat. (2) 4 (1897), p. 242; 
(2) 5 (1898), p. 317]. *Voir aussi Cl. Servais, Mém. couronnés et autres mém. Acad. 
Belgique in 8°, 49 (1896), mém. n° 3, p. 3/64 [1893] ; 52 (1894/5), mém. n° 2, 
p. 3/51 [1894].* 
119) C’est-à-dire d’éléments dont l’ensemble peut être rapporté, d’une façon 
continue, au système des valeurs de k nombres réels variables. 
120) Beitrage zur Geometric der Lage 2, Nuremberg 1857, p. 137 (§ 15). 
121) Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici 
[Math. Ann. 40 (1892), p. 413]; Un nuovo campo di recerche geometriche [Atti 
Accad. Torino 25 (1889/90), p. 276, 430; 26 (1890/1), p. 35, 692]. Concernant ces 
derniers travaux, voir le n° 18.