214 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
On peut souvent obtenir, d’une forme fondamentale imaginaire F, 
une représentation réelle <& 2r , en choisissant, comme représentation de 
chacun des éléments complexes de F, l’élément réel unique d’espèce 
déterminée qui lui appartient; par exemple, en choisissant pour cha 
que point la droite réelle qui le joint à son imaginaire conjugué. 
Comme représentations réelles les plus importantes d’une forme de 
rang un, on obtient: 
1°) Vensemble des points réels d’un plan réel 122 ); 
2°) la congruence linéaire de droites à directrices imaginaires con 
juguées; 
3°) la surface du second degré non réglée, en particulier la sphère 
{réelle') 123 ). 
D’après le même principe, on peut construire, dans les espaces 
à plusieurs dimensions, des représentations réelles des formes fonda 
mentales de rang deux et au-dessus 124 ). 
Les g k mentionnés ci-dessus sont nommés „fils“ (fili, Fâden), 
pour Te = 1, „tissus“ (tele, Gewebe) pour h = 2, etc. Une „ligne“ (ou 
un système réglé, etc.) de la forme fondamentale F est donc un tissu 
particulier, une surface est un g i particulier; quant aux chaînes de 
K. G. Chr. von Staudt, ce sont des fils. 
Dans le cas de 1c impair, nous avons affaire à des figures qui ne 
s’étaient pas présentées jusqu’ici en géométrie. Si la configuration 
réelle G k est algébrique (ce qui arrive toujours quand g k est algébrique, 
mais non réciproquement), on dit que g k est une configuration hyper- 
algébrique (et cette définition est indépendante de l’espèce particulière 
de 0 2r que l’on a choisie pour représenter la forme fondamentale jP); 
les configurations algébriques sont donc comprises parmi les hyper- 
algébriques. On désigne aussi sous le nom de „correspondances hyper- 
122) Un cas particulier de cette représentation est celui des variables com 
plexes x -J- yi dans le plan, tel que l’ont conçu G. Wessel, J. B. Argand et C. F. 
Gauss [I 5, 3]. Cette génération du plan x 4- yi se trouve aussi dans F. Klein, 
Riemannsche Flâcben 1 (cours autographié) Gôttingue 1891/2; réimpr. 1, Gôttingue 
1906, p. 267 et suiv.]. 
123) Dans les deux dernières représentations, il n’y a pas d’éléments fonda 
mentaux, c’est-à-dire que la représentation de F par la forme 4> ir est, sans ex 
ception, univoque. Dans la première représentation, il y a, au contraire, une 
droite réelle (dans le plan des variables complexes, la droite de l’infini) dont 
tous les points correspondent à un élément unique de la forme fondamentale, 
124) Quelques ensembles de ce genre, analogues à la sphère de B. Biemann 
et F. Neumann, ont été indiqués par C. Segre dans un autre article [Sulle varietà 
che rappresentano le coppie di punti di due piani o spazi, Rend. Cire mat. 
Palermo 5 (1891), p. 192]. Cf. en partie. n° 9.