17. Développements analytiques correspondants. Nombres bicomplexes. 215 
algébriques“ celles qui sont représentées sur <D 2r par des correspon 
dances algébriques. 
Si l’on veut étudier les intersections des configurations hyper- 
algébriques g k , en particulier si l’on veut établir pour ces configurations 
la notion d'ordre, il paraît naturel d’étendre aux g k les notions et les 
théorèmes correspondants relatifs à leurs représentations algébriques G k . 
Mais une difficulté se présente alors: jusqu’ici on n’a considéré dans 
les G k que les éléments réels, tandis que les théorèmes qu’il faut faire 
intervenir n’ont leur pleine validité que dans le domaine complexe; de 
là des cas d’exception, des théorèmes imprécis et compliqués. 
Ces difficultés peuvent être écartées en étendant encore la notion 
d’éléments. On considère ^ 2r et G k , supposées réelles jusqu’ici, comme 
comprenant l’ensemble de tous leurs éléments aussi bien réels que 
complexes, et l’on fait correspondre à ces éléments complexes de 
nouveaux éléments de la forme F et de g k , définis de façon con 
venable: ce sont les éléments „bicomplexes“. Pour définir ceux-ci 
géométriquement, il n’y a qu’à étendre à la forme F une des dé 
finitions réelles des éléments complexes de 0 2r . Ainsi dans un plan, 
par exemple, considéré comme la représentation réelle d’une droite 
complexe, un couple de points imaginaires conjugués peut être défini 
par un faisceau de cercles réels; de même nous définirons sur la 
droite complexe un couple de „points jumeaux bicomplexes“ (coppia 
di punti hicomplessi gemeïli) par un „faisceau de chaînes“ sans éléments 
fondamentaux, ou encore par une involution sans éléments doubles sur 
l’une de ces chaînes. En faisant intervenir les deux sens dans la 
chaîne, on peut aussi séparer ce couple en ses deux éléments. L’ordre 
d'une configuration hyperalgébrique g 1 sur une ligne droite est alors égal 
à la moitié du nombre de ses points d’intersection avec une chaîne. 
17, Développements analytiques correspondants. Nombres bi 
complexes. Analytiquement, ces considérations reviennent à séparer 
chaque coordonnée d’un élément imaginaire de la forme fondamen 
tale F, supposée complexe x + yi, en ses deux parties x, y, et 
à faire entrer toutes ces variables, en nombre double de celui des 
coordonnées primitives, d’une façon absolument quelconque dans les 
équations (ce qui revient à faire entrer dans les équations, en même 
temps que chaque coordonnée x -f iy, la variable complexe conjuguée 
x — iy, considérée, elle aussi, comme variable indépendante 125 ). Si les 
125) Il en résulte que ces recbercbes peuvent être utiles partout où à côté 
de chaque variable complexe intervient la variable complexe conjuguée, ce qui 
arrive fréquemment dans la théorie des fonctions (par ex. dans la théorie des