216 G.Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. 8. Carrus. 
équations considérées en x, y (ou en x + iy) sont algébriques, on a 
affaire à des configurations hjperalgébriques. 
A l’introduction des éléments bicomplexes on peut faire corres 
pondre une extension équivalente de la notion de nombre, en suppo 
sant que les deux parties x, y de chaque nombre complexe (c’est-à-dire 
de chaque coordonnée) x-\-iy soient complexes elles aussi et de la forme 
x~x 1 + hx 2 , y — y x + hy s , 
In désignant une nouvelle unité imaginaire différente de -}- i et de 
— i et qui remplit également la condition h 2 = — 1. 
On a ainsi des nombres bicomplexes 
m + Mlti 
et si les règles ordinaires du calcul des nombres réels doivent conserver 
pour ces nombres leur validité, il faut que le système contienne des 
racines de zéro 126 * ) [15, 25]; il y a même deux systèmes différents de 
ces racines de zéro, qui m ) s’annulent les uns pour h = les autres 
pour h — — i. Dans une forme de rang un il y a deux systèmes par 
ticuliers de fils, appelés „protofili“, qui jouissent de la propriété sui 
vante: les points bicomplexes d’un même „protofilo“ ont toujours des 
coordonnées dont la différence est égale à une racine de zéro, de l’un 
ou de l’autre système 128 ). 
fonctions automorphes, celles de la représentation conforme, des surfaces minima). 
Cf. aussi n° 18. En particulier, dans la théorie des fonctions de plusieurs variables 
complexes, les figures 3> 2r considérées plus haut [n° 16] peuvent jouer le même 
rôle que le plan ou la sphère pour les fonctions d’une variable. 
126) *Si l’on fait le produit de deux quantités bicomplexes z, t de la forme 
ci-dessus, le produit zt est une quantité bicomplexe de la même forme. En 
annulant cette dernière on obtient quatre équations que l’on peut considérer 
comme homogènes en x Y , x t , y 1 , . Le déterminant des coefficients se met aisé 
ment sous une forme de somme de deux carrés ce qui conduit aux deux solutions 
ou 
Chacune d’elles est donc alors une racine de zéro. Il y en a de deux formes 
x 1 -\-hx i — ix 2 -\-ihx 1 et aq-j-hx i -\-ix i — ihx 1 ; 
la première disparaît pour h — i, la seconde pour h — — i* 
127) G. Segre [Math. Ann. 40 (1892), p. 457 (n os 29 à 31)]. 
128) Le système mentionné des nombres complexes supérieurs [I 5, 12 
et suiv.] reçoit ainsi une interprétation géométrique directe. D’autres systèmes de 
nombres complexes ont été également appliqués en géométrie, dès H. Grass- 
mann et W. H. Hamilton, en raison de ce fait que le calcul avec leur aide peut 
servir d’algorithme pour simplifier des formules et des développements analytiques. 
Une application de ce genre a été faite par E. Study qui a utilisé pour la re 
présentation des lignes droites dans l’espace les „grandeurs duelles“, c’est-à-dire trois