218 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Garnis. 
dans les configurations de rang supérieur les correspondances antipro 
jectives se distinguent des projectives uniquement par ce fait que les 
jets correspondants non neutres sont d’espèces contraires 132 ). Les théo 
rèmes relatifs à la détermination des correspondances projectives par 
trois, quatre, cinq couples d’éléments correspondants en position 
générale, ainsi que les constructions les plus simples, peuvent être 
immédiatement étendus aux correspondances antiprojectives; il se pré 
sente au contraire des différences en ce qui concerne les éléments 
doubles. L’étude des „antiinvolutions“ (c’est-à-dire des correspondances 
antiprojectives qui se confondent avec leurs inverses) [cf. n 08 11 et suiv.] 
conduit à la généralisation de la notion de „chaîne“ de K. G. Chr. von 
Staudt; une chaîne d'espèce r est, au point de vue de la géométrie pro 
jective, identique à l’ensemble des éléments réels d’une forme fonda 
mentale réelle de rang r. 
Ces correspondances (mais non les antipolaires, dont il va être 
question) avaient été étudiées peu de temps auparavant par G. Juel 133 134 ) 
sous le nom de „symétralités“; mais les recherches de G. Segre sont 
indépendantes de celles de G. Juel et plus approfondies. 
+ Elles ont été poursuivies par G. Sforza lu ).* 
Les correspondances „antipolaires“ du plan et de l’espace engen 
drent les „hyperconiques“ et les „hypersurfaces du second degré“ 135 ) 
qui comprennent l’ensemble (co 3 ou oo 5 ) des points autoréciproques 
de la forme fondamentale, quand il en existe. 
On peut former avec ces figures des faisceaux et des systèmes 
linéaires supérieurs dont les éléments peuvent être engendrés dans 
certains cas, mais non toujours, par des faisceaux antiprojectifs de 
droites ou de plans; c’est là une nouvelle différence par rapport à la 
géométrie projective. 
Au contraire la théorie des transformations linéaires qui trans 
forment en elle-même une hyperconique ou une hypersurface du second 
degré (c’est-à-dire les antipolarités qui les définissent) se rattache assez 
étroitement à la géométrie projective des sections coniques et des 
surfaces du second degré 136 ). 
Analytiquement, ce sont les transformations linéaires automorphes, 
132) G. Segre, Atti Accad. Torino 26 (1890/1), p. 692. 
133) Bidrag til den imaginare Linies og den imaginare Plans Geometri, 
Diss. Copenhague 1885; líber einige Grundgebilde der projectiven Geometrie, 
Acta math. 14 (1890/1), p. 1. 
134) *Giorn. mat. (1) 30 (1892), p. 159/87 (Texte et note de G. Loria).* 
135) G. Segre, Atti Accad. Torino 26 (1890/1), p. 592. 
136) Cf. IL 18, 36, 87 et III 4.