220 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
2°) Applications à la théorie des fonctions. Les fonctions „hyper- 
fuchsiennes“ à deux variables étudiées par JE. Ficard 143 144 14S 146 ) admettent 
des groupes de transformations linéaires à coefficients entiers, que l’on 
peut regarder comme des homographies du plan avec une hyperconi- 
que invariante. Et de même que F. Klein et li. Friche 144 ) ont défini les 
domaines fondamentaux des groupes proprement discontinus de trans 
formations linéaires d’une variable, en particulier des groupes à cercle 
principal, qui sont assimilables aux groupes projectifs d’une forme com 
plexe de rang un avec une chaîne invariante, de même G. Fubini u5 ) 
et F. Study u6 ) ont établi la même notion pour les groupes discon 
tinus avec une forme d’Hermite invariante; et G. Fubini a aussi dé 
montré l’existence de fonctions hyperfuchsiennes correspondantes. Ces 
groupes (dont quelques-uns se laissent caractériser d’une manière simple 
par l’arithmétique) peuvent être étendus, comme dans le cas d’une 
variable, par des opérations de seconde espèce. Bien qu’en grande partie 
le cas de n — 2 variables soit seul envisagé, la dernière méthode 
s’applique à n quelconque. Plus tard, A. Hurwitz 147 ) s’est occupé d’é 
tablir, d’une façon générale, un domaine fondamental pour un groupe 
donné de transformations linéaires de plusieurs variables. Les groupes 
discontinus considérés par G. Fubini, qui transforment en lui-même un 
système de formes d’Hermite, reçoivent d’autres applications dans le 
cas des fonctions qui comportent des transformations linéaires de 
variables distinctes ou de séries distinctes de variables 148 ). 
3°) Applications à la théorie des nombres. La théorie de l’équi 
valence et la réduction des formes binaires de Lejeune Dirichlet [116, 26] 
143) Acta math. 1 (1882/3), p. 297; 2 (1883), p. 114; 5 (1884/5), p. 121; Ann. 
Éc. Norm. (3) 3 (1886), p. 357 ; Essai d’une extension à n variables par W. Wirtinger, 
Sitzgsb. Akad. Wien 108 II a (1899), p. 1239. 
144) Yorlesungen über die Théorie der elliptischen Modulfunktionen 1, Leip 
zig 1890; 2, Leipzig 1892; Yorlesungen über automorphe Funktionen 1, Leipzig 
1897; 2, Leipzig 1901 (livre 1). Yoir aussi 1112. 
145) Atti Accad. Gioenia Catania (4) 17 (1904), mém. n° 4; Applicazioni 
analitiche dei gruppi di projettività trasformanti in sè una forma Hermitiana, 
Atti Accad. Gioenia Catania (4) 17 (1904), mém. n° 9. 
146) Math. Ann. 60 (1905), p. 321; Verhandl. 139 ) 3. Math.-Kongresses Heidel 
berg 1904, p. 313. 
147) Math. Ann. 61 (1905), p. 325, 
148) Ces applications sont dues à F. Picard [J. math, pures appl. (4) 1 
(1885), p. 87] et if. Bourget [Ann. Fac. sc. Toulouse (1) 12 (1898), mém. n° 4, p. 1]; 
un cas particulier inspiré par JD. Hilbert est envisagé par O. Blumenthal, Math. 
Ann. 56 (1903), p. 509; 58 (1904), p. 497; Jahresb. deutsch. Math.-Ver. 13 (1904), 
p. 120. Yoir aussi G. Fubini, Ann. mat. pura appl. (3) 10 (1904), p. 1; (3) 11 (1905), 
p. 159, en partie, p. 184 (§ 8).